2026-上海卷-11 填-三角函数性质

本题导读

本题考查三角函数解析式的确定。核心在于通过导数为 0 识别出函数的极值位置，结合速度（函数值 $v$）的物理动态变化过程，确定振幅 $A$,偏置 $B$,角速度 $\omega$ 以及初相 $\phi$。

📌【题干】

Question

（2026年上海卷）已知三角函数 $f(t)=A\sin (\omega t+\phi )+B$ ($A>0,B\in \mathbb{R},\omega >0,0\le \phi <2\pi$).若 $v=f(t)$，当 $v=0$ 或 $v=4$ 时，其导数为 0，初速度为 0，且速度第一次达到 4 时，用时 0.1 秒，求 $f(t)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 确定最大值与最小值：当 $v=0$ 或 $v=4$ 时导数为 0，说明函数 $f(t)$ 的极值点处的函数值分别为 0 和 4。由于 $A>0$，故最小值为 0，最大值为 4。
2. 求解基本参数 $A$ 和 $B$：利用最大值和最小值的基本公式 $\{\begin{array}{l}B+A=4\\ B-A=0\end{array}$ 解出振幅 $A$ 和偏置 $B$。
3. 分析初速度与周期：

• “初速度为 0” 指 $t=0$ 时， $v=f(0)$ 的状态。结合导数为 0，说明 $t=0$ 时函数恰好处于极值点位置。
• “速度第一次达到 4 时用时 0.1 秒”，说明函数从 $t=0$ 处的极小值 0，第一次运动到极大值 4 经历了半个周期，由此求出周期 $T$ 及角速度 $\omega$。

4. 求解初相 $\phi$：根据 $t=0$ 时函数取得极小值 0，代入波形相位特征确定 $\phi$。

✅【答案】

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$f(t)=2-2\cos (10\pi t)$（即 $2\sin \left(10\pi t+\frac{3\pi }{2}\right)+2$）

✍【详细解析】

Abstract

由于在 $v=0$ 和 $v=4$ 处导数为 0， 依据正弦型函数的性质，导数为 0 的点即为函数的波峰（极大值点）或波谷（极小值点）。 因为 $A>0$，所以函数的最大值为 4，最小值为 0。 根据三角函数最值公式： $\{\begin{array}{l}{v}_{\max }=B+A=4\\ v_{\min }=B-A=0\end{array}$ 两式相加得 $2B=4⟹B=2$。 两式相减得 $2A=4⟹A=2$。 此时解析式为： $f(t)=2\sin (\omega t+\phi )+2$。

已知 “初速度为 0”，即 $t=0$ 时对应的导数为 0。 这意味着 $t=0$ 时，函数 $f(t)$ 处于极值点（波峰或波谷）。 又因为 “从 $t=0$ 开始，速度第一次达到 4（最大值）用时 0.1 秒”， 这说明 $t=0$ 时函数必须处于**极小值 0（波谷）**位置，否则如果 $t=0$ 是波峰，第一次达到 4 的用时应为 0 秒。 函数从波谷（极小值）第一次运动到波峰（极大值）所需的时间为半个周期： $\frac{1}{2}T=0.1⟹T=0.2\text{ 秒}$ 根据角速度与周期的关系公式： $\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{0.2}=10\pi$

将 $A=2,B=2,\omega =10\pi$ 代入解析式： $f(t)=2\sin (10\pi t+\phi )+2$ 因为 $t=0$ 时函数取得最小值 0： $f(0)=2\sin \phi +2=0⟹\sin \phi =-1$ 已知 $0\le \phi <2\pi$，满足 $\sin \phi =-1$ 的唯一解为： $\phi =\frac{3\pi }{2}$

$f(t)=2\sin \left(10\pi t+\frac{3\pi }{2}\right)+2$ 利用诱导公式 $\sin \left(\theta +\frac{3\pi }{2}\right)=-\cos \theta$ 进行化简： $f(t)=-2\cos (10\pi t)+2$

故答案为 $-2\cos (10\pi t)+2$ （或 $2-2\cos (10\pi t)$ 或 $2\sin \left(10\pi t+\frac{3\pi }{2}\right)+2$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数中极值点导数为 0 的几何特征；相邻波峰与波谷间距为 $\frac{1}{2}T$ 的周期规律；初相的边界值限定。
2. 核心方法：物理量与几何波形对应法（速度对应纵坐标，导数对应斜率）。
3. 避坑指南：误判 $t=0$ 的初始状态。若将 $t=0$ 误判为平衡位置或波峰，会导致计算出来的周期或初相产生 $\frac{T}{4}$ 级别的偏差。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题将简谐运动（S.H.M.）的物理模型与导数基础概念融合，是上海高考填空题后半段经典的高频切入点。
2. 结论推广：对于任意满足在 $v_1,v_2$ 处导数为 0 的正弦振动波，从 $v_1$ 到 $v_2$ 的最短用时为 $\Delta t$，其角速度满足通用物理量公式 $\omega =\frac{\pi }{\Delta t}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-06 单-三角函数的图象
• 2001-上海卷理-11 填-三角函数的图象与性质
• 2001-大纲理-06 单-反函数的概念与求解方法