2026-上海卷-17 解-统计综合

本题导读

本题考查概率统计的基础应用。核心在于利用图表数据进行事件计数以求解古典概率，通过变量间的非线性相关趋势选择统计图表并定性判断相关系数区间，最后通过定量代入计算比较两种回归模型的预测残差绝对值。

📌【题干】

Question

（2026年上海卷）（本题满分 14 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 4 分，第 3 小题 6 分）某工厂为进行环境保护与改善，对九年间空气中某颗粒密度与二氧化硫密度进行了监测与记录，数据如下：

某颗粒物密度	101.02	87.02	57.46	21.85	11.76	8.86	5.03	4.63	3.86
二氧化硫密度	119.47	51.84	53.2	9.16	6.6	4.4	3.31	3.35	3.86

(1) 为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？

(2) 为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在 $(-1,0)$、 $(0,1)$、 $(1,2)$ 哪个区间内？

(3) 2023 年前 9 年的年份 ($x$) 的平均数为 2018， $y$（颗粒物密度）关于 $x$（年份）的回归方程拟采用 $y=106.544{\text{e}}^{-0.161(x-2014)}$ 或 $y=a(x-2014)+83.743$.已知 2023 年实际颗粒物浓度为 3.86，则哪个回归方程对于 2023 年的预测值与实际值的差的绝对值更小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：统计表格中共有 9 组数据。逐组比对“颗粒物密度”与“二氧化硫密度”的大小，找出满足“颗粒物密度 > 二氧化硫密度”的组数 $m$，根据古典概型公式 $P=\frac{m}{n}$ 计算。
2. 第二问：研究两个变量的相关性，标准二维统计图表为散点图。观察数据发现，随着年份推移，两个变量均呈现单调递减趋势，即同向变化，具有正相关关系。结合相关系数 $r$ 的性质 $|r|\le 1$ 定位区间。
3. 第三问：

• 确定 9 年的具体年份：由均值 $\bar{x}=2018$ 且为连续 9 年，可知年份为 2014 年至 2022 年（或 2015 年至 2023 年，根据题意“2023 年前 9 年”且包含 2023 年实际值，序列为 2015 至 2023，其中 $\bar{x}=2019\ne 2018$；若由 $\bar{x}=2018$ 逆推，9 年应为 $2018-4$ 到 $2018+4$，即 2014 年至 2022 年，此时 2023 年为第 10 年。题目要求预测 2023 年，将 $x=2023$ 分别代入两个模型）。
• 模型二中含未知参数 $a$，需先利用样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$ 落在回归线上求出 $a$。
• 分别计算 $x=2023$ 时两个模型的预测值 ${\hat{y}}_1,{\hat{y}}_2$，并计算 $|\hat{y}-3.86|$ 进行大小比较。

✅【答案】

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(1) $\frac{7}{9}$ (2) 应选散点图；相关系数 $r\in (0,1)$ (3) 指数回归方程（第一个方程）的预测值与实际值之差的绝对值更小

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求解颗粒物密度大于二氧化硫密度的概率 设事件 $A$ 为“抽取的一年，该年份颗粒物密度大于二氧化硫密度”。 总年份样本数 $n=9$。 逐项比对表格中的 9 组数据：

• 第 1 组：101.02 < 119.47
• 第 2 组：87.02 > 51.84 （符合）
• 第 3 组：57.46 > 53.2 （符合）
• 第 4 组：21.85 > 9.16 （符合）
• 第 5 组：11.76 > 6.6 （符合）
• 第 6 组：8.86 > 4.4 （符合）
• 第 7 组：5.03 > 3.31 （符合）
• 第 8 组：4.63 > 3.35 （符合）
• 第 9 组：3.86 = 3.86

满足条件的样本数 $m=7$。 根据古典概型公式，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率为： $P(A)=\frac{7}{9}$

(2) 选择统计图表并判定相关系数区间

• 为了研究两个变量之间的相关关系，应当选取散点图进行分析。
• 观察表格数据可知，随着颗粒物密度的降低，二氧化硫密度整体上也呈现出降低的趋势。两个变量呈现同向变化，说明两者之间存在正相关关系，故相关系数 $r>0$。
• 根据相关系数的数学性质，任意两变量的相关系数 $r$ 满足 $|r|\le 1$。 因此，相关系数 $r$ 必在区间 $(0,1)$ 内。

(3) 比较两个回归方程对 2023 年的预测效果 已知 9 年年份 $x$ 的平均数 $\bar{x}=2018$。 计算 9 年间颗粒物密度 $y$ 的平均数 $\bar{y}$： $\bar{y}=\frac{101.02+87.02+57.46+21.85+11.76+8.86+5.03+4.63+3.86}{9}=\frac{301.49}{9}\approx 33.499$

• 对于模型一： $y=106.544{\text{e}}^{-0.161(x-2014)}$ 将 $x=2023$ 代入模型一，得预测值 ${\hat{y}}_1$： ${\hat{y}}_1=106.544{\text{e}}^{-0.161\times (2023-2014)}=106.544{\text{e}}^{-0.161\times 9}=106.544{\text{e}}^{-1.449}$ 已知 ${\text{e}}^{-1.449}\approx 0.2348$， ${\hat{y}}_1\approx 106.544\times 0.2348\approx 25.02$ 预测值与实际值（3.86）差的绝对值为： $|{\hat{y}}_1-3.86|=|25.02-3.86|=21.16$

• 对于模型二： $y=a(x-2014)+83.743$ 因为线性回归方程恒过样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})=(2018,33.499)$，代入方程： $33.499=a(2018-2014)+83.743⟹4a+83.743=33.499$ $4a=33.499-83.743=-50.244⟹a=-12.561$ 所以模型二的方程为： $y=-12.561(x-2014)+83.743$。 将 $x=2023$ 代入模型二，得预测值 ${\hat{y}}_2$： ${\hat{y}}_2=-12.561\times (2023-2014)+83.743=-12.561\times 9+83.743=-113.049+83.743=-29.306$ 预测值与实际值（3.86）差的绝对值为： $|{\hat{y}}_2-3.86|=|-29.306-3.86|=33.166$

比较残差绝对值：因为 $21.16<33.166$， 所以**指数回归方程（第一个回归方程）**对于 2023 年的预测值与实际值的差的绝对值更小。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型事件计数；相关系数的定义域界限（$|r|\le 1$）；回归直线过样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$ 的代数性质。
2. 核心方法：样本点带入法、残差绝对值比对法。
3. 避坑指南：

• 第二问区间选择时，应注意相关系数不可能大于 1，从而直接排除 $(1,2)$。
• 第三问计算模型二的参数 $a$ 时，必须通过求取表格 $y$ 均值获取中心点，不能漏求或将 2023 年的实际值直接当作中心点代入。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查高中必修统计中的传统数据拟合模型，通过真实环保监测场景，评价线性与非线性（指数）两种数学模型的实际外推预测精度。
2. 结论推广：对于自然衰减型环境指标，由于浓度具有非负性，线性模型在外推时间过长时往往会出现预测值为负数（如本题中算出的 $-29.306$）的非物理合理情况，而指数衰减模型 $y=A{\text{e}}^{-kx}$ 具有天然的下有界性（$\hat{y}>0$），在描述污染物稀释、递减等实际动力学过程中具有更高的理论与现实拟合优度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 24.01回归分析与线性拟合

类题演练 (Links)

• 2008-广东卷文-19 解-分层抽样与古典概型
• 2011-江苏卷-05 填-古典概型两倍关系
• 2011-陕西卷理-10