本题导读
本题是一道综合性的函数与导数大题。第一问通过特殊点值锁定二次函数参数，利用简单的代数化简脱去超越分式，求解一元二次不等式并严格核对自变量定义域；第二问通过求导得出切线与法线方程，将“第一象限内无公共点”的问题转化为“正半轴上方程无解”，利用分离参数法将两个独立的变量约束统一归结到同一个目标函数的值域区间外部，进而通过导数确定其极值与取值范围。
📌【题干】
Question
（2026年上海卷）已知 ，函数 ， .
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）设 ， 是 在点 处的切线， 是过 且垂直于 的直线，若 与 , 在第一象限内均无公共点，求 的取值范围.
🔍【思路分析】
破题导航
- 第一问（不等式求解）：
- 将 代入求出 ，得到 。
- 列出不等式 。注意分母约束，自变量必须满足 。
- 两边消去相同的分式项 ，转化为标准一元二次不等式 ，解出范围后挖去原点 即可。
- 第二问（无交点与分离参数）：
- 求直线方程：对 求导， 即为切线 的斜率，则 。因为 ，所以 的斜率为 ，且过同一点，故 。
- 转化无交点条件：在第一象限内无公共点，意味着两方程在 时均无实数解。
- 分离参数统一模型：分别对两个方程实施分离参数： 可以发现，两方程右端完全为同一个目标函数 。要使方程无解，参数 与 必须都严格落在函数 在 上的值域之外。用导数求出 的最小值即可建立不等式组。
✅【答案】
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(1) (2)
✍【详细解析】
Abstract
（1）若 ，求不等式 的解集
将 代入函数 中： 已知 ，则 。 因此，函数的解析式为：
将 与 代入不等式中：
解得：
又， 所以，原不等式的解集为：
（2）设 ，求 的取值范围
对二次函数求导： 由导数的几何意义可知，切线 的斜率为 ，且切点（经过的点）为 ，则直线 的方程为：
由于直线 过点 且与 垂直，其斜率为 ，则直线 的方程为：
题目要求 与 在第一象限内均无公共点，等价于以下两个方程在 的区间内均无实数解：
- 在 时无解；
- 在 时无解．
由于 ，我们对上述两个方程同时进行参数分离：
- 对于方程 1，两边同除以 并移项：
- 对于方程 2，同理可得：
观察可知，两个方程的右侧为完全相同的结构。令目标函数为： 要使两个关于参数的方程在 时均无解，则参数 与 必须同时落在函数 的值域之外。
下面利用导数工具分析函数 在 上的单调性与值域：
在 的定义域内，分母 ，故导函数的正负号完全由分子 决定：
- 当 时， ，函数 在 上严格单调递减；
- 当 时， ，函数 在 上严格单调递增．
由此可知，函数 在 处取得极小值，亦即最小值：
- 当 时， ，故 ；
- 当 时， 且 ，故 ．
因此，函数 在 上的值域为 。 要使方程无解，参数必须严格小于其最小值 。建立不等式组：
下面对参数 的正负号实施分类讨论求解：
情形一：当 时 此时 ，由于 ，不等式 恒成立。 因此只需满足 。结合大前提 ，解得：
情形二：当 时 此时 ，由 变形（两边同乘以 需注意，或者直接取倒数）： 因为 为负数，两边同乘以 需改变不等号方向： 此时，由于 ，另一个不等式 并满足。 结合 ，解得：
综合上述两种情形，参数 的取值范围是：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：导数在切线与垂直法线斜率中的应用；一阶参数分离技术；利用导数符号判定超越函数单调性与值域范围。
- 核心方法：分离参数法、导数单调性极值法。
- 避坑指南：
- 忽略隐含的定义域零点：第一问在化简掉 时，极易忘记原函数真数分母不为零的基础约束。必须在最终解集中将离散点 0 挖去。
- 负数移项不等号忘记翻转：在第二问求解 且 时，两边同乘以负数 或者进行倒数移项时，极易因粗心忘记调转不等号方向，导致算错边界。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源： 本题是经典的将一阶微分几何切线关系与超越代数方程根的个数相结合的压轴大题。其高等数学背景源于**“多项式非线性流形的拓扑截割（Topological Intersection of Manifolds）”**。
- 结论推广： 本题涉及的分离参数合并模型可推广为更一般的齐次变换核函数（Homogeneous transformation kernel）。一般地，对于形如 的线性扫描流形与超越有理流形 在特定正半轴上的交截无解问题，通过代数拉氏变换，均可完备等价映射为双曲线族的单侧包络线（Envelope）判定。利用一阶临界导数死锁极小值，这一包络线分析方法在现代控制理论的稳定性边界（奈奎斯特判据）及经济学边际成本最优配置模型中具有极其广泛的底层应用。
🔗【关联脉络】
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