2026-北京卷-03 单-双曲线的渐近线

本题导读

本题考查双曲线的基础几何性质. 核心在于通过标准方程识别焦点所在轴向及基本量 $b$ 的值，利用焦点在 $x$ 轴上的双曲线渐近线方程公式建立对应关系，从而直接解出待求参数 $a$.

📌【题干】

Question

（2026年北京卷）已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4}=1$ ($a>0$) 的一条渐近线为 $y=\frac{2}{3}x$，则 $a=$ ()

A. 2　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 9

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：判定双曲线类型并提取基本量： 由标准方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4}=1$ 可知，该双曲线的焦点在 $x$ 轴上，其中 $b^2=4$，得出 $b=2$.

2. 第二步：匹配渐近线斜率公式：焦点在 $x$ 轴上的双曲线渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$. 结合已知的一条渐近线 $y=\frac{2}{3}x$，可得对应斜率关系 $\frac{b}{a}=\frac{2}{3}$.

3. 第三步：代入求解：将 $b=2$ 代入斜率关系式中，直接解出 $a$ 的值.

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

由已知的双曲线标准方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4}=1$ 可得： $b^2=4⟹b=2(b>0)$

因为该双曲线方程的实轴在 $x$ 轴上，所以其渐近线方程为： $y=\pm \frac{b}{a}x$

题目给出其中一条渐近线方程为 $y=\frac{2}{3}x$，所以：

$\frac{b}{a}=\frac{2}{3}$

将 $b=2$ 代入上述比例式中： $\frac{2}{a}=\frac{2}{3}$

解得： $a=3$

故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：标准双曲线基本量 $a,b$ 的代数识别；焦点在 $x$ 轴上的双曲线渐近线方程公式（$y=\pm \frac{b}{a}x$.
2. 核心方法：公式特征系数比对法.
3. 避坑指南：必须注意双曲线焦点所对应的轴向.

• 当方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 时，渐近线斜率为 $\pm \frac{b}{a}$；
• 当方程为 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ 时，渐近线斜率为 $\pm \frac{a}{b}$. 本题实轴在 $x$ 轴，若盲目死记硬背混淆为 $\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，会导致错误算出 $a=\frac{4}{3}$.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论推广： 对于已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线方程为 $y=\pm kx$ （$k>0$），其渐近线斜率 $k$ 与离心率 $e$ 之间的关系： $k=\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{c^2-a^2}}{a}=\sqrt{e^2-1}⟹e=\sqrt{1+k^2}$ 利用这一推广结论，若本题进一步追问离心率，可直接由斜率 $k=\frac{2}{3}$ 秒杀求得 $e=\sqrt{1+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=\frac{\sqrt{13}}{3}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-07 单-双曲线方程
• 2013-江苏卷-03 填-渐近线
• 2013-湖北卷理-05 单-双曲线方程