2026-天津卷-12 填-解三角形

本题导读

本题考查解三角形的基础应用。核心在于利用同角三角函数的平方关系将已知角的余弦值转化为正弦值，随后直接套用正弦定理建立边角关系，从而计算出目标角的正弦值。

📌【题干】

Question

（2026年天津卷）在 $△ABC$ 中， $BC=4$， $AC=3$， $\cos A=-\frac{1}{4}$.则 $\sin B=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：由 $\cos A$ 求解 $\sin A$：根据同角三角函数关系公式 ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$。由于三角形内角 $A\in (0,\pi )$，其正弦值 $\sin A$ 恒为正数，由此可精确求出 $\sin A$。
2. 第二步：利用正弦定理列出方程：根据正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，将边长 $a=BC=4$， $b=AC=3$ 以及第一步算出的 $\sin A$ 代入公式，即可直接解出 $\sin B$。

✅【答案】

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$\frac{3\sqrt{15}}{16}$

✍【详细解析】

Abstract

因为在 $△ABC$ 中， $\cos A=-\frac{1}{4}$，且 $A$ 为三角形的内角（$0<A<\pi$）， 所以 $\sin A>0$。根据同角三角函数平方关系可得： $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-{\left(-\frac{1}{4}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$

根据正弦定理，有： $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$ 将已知数据 $BC=4,AC=3$ 及 $\sin A=\frac{\sqrt{15}}{4}$ 代入上式： $\frac{4}{\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{3}{\sin B}⟹\frac{16}{\sqrt{15}}=\frac{3}{\sin B}$

解得 $\sin B$ 为： $\sin B=\frac{3\sqrt{15}}{16}$

故答案为： $\frac{3\sqrt{15}}{16}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：同角三角函数关系（$\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}$）；正弦定理定理公式（$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$）的直接控算。
2. 核心方法：边角自变量互换法。
3. 避坑指南：本题较为基础，唯一需要注意的是在第一步开平方求 $\sin A$ 时，切勿受 $\cos A<0$ 的干扰而错误地在根号前加上负号。由于三角形的内角在第一、二象限，其正弦值恒为正数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考天津卷填空题前半段（第 12 题）的常规基础解三角形得分题，主要考查新教材必修第二册中“解三角形”模块的基本公式直接对接。
2. 结论推广：通过已知两边及其中一边的对角求解另一对角的正弦值，其输出值 $\sin B=\frac{b\sin A}{a}$ 具有完全的确定性。由于题干未要求求解角 $B$ 的具体大小，因而无需讨论角 $B$ 对应的大于 $\frac{\pi }{2}$ 或小于 $\frac{\pi }{2}$ 的多解性问题，直接由正弦定理锁定唯一正弦值即可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷II理-13
• 2016-高考江苏卷-15
• 2022-高考浙江卷-18