2013-陕西卷理-09 单-相似三角形的性质与判定

本题导读

本题考查相似三角形，以及相似三角形的性质与判定。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(理)） 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 $300{\text{m}}^2$ 的内接矩形花园（阴影部分），则其边长 $x$（单位：m）的取值范围是()

A. $[15,20]$　　　B. $[12,25]$　　　C. $[10,30]$　　　D. $[20,30]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立几何关联：设矩形与三角形底边平行的边长为 $x$，另一边长为 $y$。
2. 利用相似三角形性质：矩形上方的三角形与原大三角形相似。利用“相似三角形对应高的比等于相似比”列出关于 $x$ 和 $y$ 的方程。
3. 建立面积模型：由题意矩形面积 $S=xy$，代入 $y$ 关于 $x$ 的表达式，得到关于 $x$ 的二次函数。
4. 解不等式：根据 $xy\ge 300$ 列出一元二次不等式并求解。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用相似关系求边长关系 如图所示，三角形的底边为 $40\text{m}$，高为 $40\text{m}$。 设矩形在底边上的边长为 $x$，高为 $y$。 则矩形上方的空隙三角形与原大三角形相似。 大三角形的高为 $40$，小三角形的高为 $40-y$。 根据相似比等于对应高的比： $\frac{x}{40}=\frac{40-y}{40}$ 解得：$x=40-y$，即 $y=40-x$。

第二步：建立面积不等式 矩形的面积 $S=xy$。 由题意得： $x(40-x)\ge 300$ 整理得： $40x-x^2\ge 300$ $x^2-40x+300\le 0$

第三步：求解不等式 因式分解得： $(x-10)(x-30)\le 0$ 解得： $10\le x\le 30$ 即 $x$ 的取值范围是 $[10,30]$。

故正确答案为：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相似三角形的性质（$\frac{\text{小底}}{\text{大底}}=\frac{\text{小高}}{\text{大高}}$）；一元二次不等式的解法。

核心方法：“几何问题代数化”。通过比例关系将两个自变量（长和宽）压缩为一个，从而构建函数模型。

避坑指南：注意图中给出的 $40$ 既是底也是高。在计算相似比时，务必分清哪个是底，哪个是高，不要代反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二次函数的最值问题、均值不等式。

结论推广：对于底为 $a$、高为 $h$ 的三角形，其内接矩形面积最大值为 $\frac{1}{4}ah$，此时矩形边长分别为底的一半和高的一半。

方法推广：遇到几何图形嵌入问题，相似形和坐标法是两种最常用的建模手段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 2026-新高考I卷-16 解-解三角形
• 2026-新高考II卷-17 解-解三角形
• 2026-天津卷-12 填-解三角形