2026-新高考II卷-04 单-渐进线方程

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与渐近线方程的求解。核心意图在于测试学生利用双曲线所过的已知点坐标，通过代入法确定标准方程中的基本量参数 $a$ 和 $b$，进而准确写出对应的渐近线方程。

📌【题干】

Question

（2026年新高考II卷）双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 过点 $(1,0)$ 和 $\left(\frac{\sqrt{7}}{2},3\right)$ ，则$C$的渐近线方程为()

A. $y=\pm 3\sqrt{2}x$　　　B. $y=\pm 2\sqrt{3}x$　　　C. $y=\pm \frac{\sqrt{3}}{6}x$　D. $y=\pm \frac{\sqrt{2}}{6}x$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：将双曲线所过的右顶点 $(1,0)$ 代入双曲线方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，直接解出参数 $a^2$ 和 $a$ 的值。
2. 第二步逻辑：将第二个已知点 $\left(\frac{\sqrt{7}}{2},3\right)$ 的坐标和已求得的 $a^2$ 值代入方程中，通过一元一次方程解出另一个未知参数 $b^2$ 和 $b$ 的值。
3. 第三步逻辑：根据焦点在 $x$ 轴上的双曲线渐近线公式 $y=\pm \frac{b}{a}x$，代入 $a$ 和 $b$ 的值进行化简，对照选项确定答案。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 过点 $(1,0)$，将 $x=1,y=0$ 代入方程： $\frac{1^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1⟹\frac{1}{a^2}=1⟹a^2=1$ 由于 $a>0$，解得： $a=1$

将 $x=\frac{\sqrt{7}}{2},y=3$ 以及 $a^2=1$ 代入双曲线方程： $\frac{{\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)}^2}{1}-\frac{3^2}{b^2}=1⟹\frac{\frac{7}{4}}{1}-\frac{9}{b^2}=1$ $\frac{7}{4}-\frac{9}{b^2}=1$ 化简： $\frac{9}{b^2}=\frac{7}{4}-1⟹\frac{9}{b^2}=\frac{3}{4}$ 求得 $b^2$： $3b^2=36⟹b^2=12$ 由于 $b>0$，解得： $b=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

对于中心在原点、焦点在 $x$ 轴上的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其渐近线方程为： $y=\pm \frac{b}{a}x$ 将 $a=1,b=2\sqrt{3}$ 代入该公式中： $y=\pm \frac{2\sqrt{3}}{1}x⟹y=\pm 2\sqrt{3}x$

正确答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待定系数法确定双曲线几何量；渐近线斜率公式的准确套用。
2. 核心方法：待定系数代入法。
3. 避坑指南：

• 渐近线斜率倒置陷阱：在记忆双曲线渐近线方程时，极易将焦点在 $x$ 轴和在 $y$ 轴的公式混淆，将 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 错记成 $y=\pm \frac{a}{b}x$。牢记“ $y$ 下面的量在分子， $x$ 下面的量在分母”的口诀，即斜率恒为 $\frac{\text{与 }y\text{ 相关的量}}{\text{与 }x\text{ 相关的量}}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源与高等数学背景

(1) 试题背景源流

本题形式属于解析几何中经典的圆锥曲线待定系数问题。在高等数学与近代解析几何中，双曲线由其二次代数方程唯一定义。渐近线是双曲线在无穷远处表现出的线性极限行为。

(2) 高等数学核心背景

本题的核心高数背景为二次曲线的渐近方向与极限理论（Asymptotic Directions of Conics）。

• 齐次化与零值极限：在高等数学中，求双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线，等价于令常数项趋于 0 的极限变形。即： ${\lim }_{x,y\to \infty }\left(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\right)=0⟹\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$ 对左侧进行因式分解，直接导出两条直线方程： $\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=0⟹y=\pm \frac{b}{a}x$ 命题人正是利用高数中这一“消去常数项求极限方向”的特征，设计了通过代入散点确定系数，进而考查无穷远行为（渐近线）的基础试题。

2. 结论推广与一般化

(1) 结论推广

对于所有已知右动点/顶点为 $(m,0)$ 且过点 $(x_0,y_0)$ 的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$： 由于其过点 $(m,0)$ 必然直接锁定 $a=m$。 将其代入方程可得 $\frac{x_0^2}{m^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1⟹\frac{y_0^2}{b^2}=\frac{x_0^2-m^2}{m^2}$。 从而可直接推导出渐近线斜率绝对值的通用快捷求导式： $\left|k\right|=\frac{b}{a}=\frac{|y_0|}{\sqrt{x_0^2-m^2}}$

(2) 推广应用

将本题的具体数据 $m=1,x_0=\frac{\sqrt{7}}{2},y_0=3$ 直接代入该推广通式： $\left|k\right|=\frac{3}{\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)}^2-1^2}}=\frac{3}{\sqrt{\frac{7}{4}-1}}=\frac{3}{\sqrt{\frac{3}{4}}}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$ 由此直接得到渐近线方程为 $y=\pm 2\sqrt{3}x$。 利用该结论，此类双曲线过特殊点求渐近线的问题可免除全部联立化简步骤，实现 3 秒内直接口算输出答案。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-07 单-双曲线方程
• 2013-江苏卷-03 填-渐近线
• 2013-湖北卷理-05 单-双曲线方程