2026-新高考II卷-15 解-统计概率综合

本题导读

本题考查统计与概率的综合应用。第一问要求利用频率分布直方图的面积特征，通过累加各组频率精确计算第一四分位数和中位数；第二问通过区间频率确定单次事件的概率估计值，并结合二项分布的数学期望和方差公式完成计算。

📌【题干】

Question

（2026年新高考II卷）从某工厂生产的某种电子产品种随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图：

（1）估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分 布）；

（2） 记$\hat{p}$ 为1件这种电子产品首次出现故障的时间小于 365 天的概率的估计值.

(i) 求 $\hat{p}$ ；

(ii) 该工厂向某用户销售 100 件这种电子产品， $X$ 为这 100 件电子产品种首次出现故障的时间小于 365 天的件数，则 $X\sim B(100,\hat{p})$ ，求 $E(X),D(X)$ .

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（直方图参数提取）：观察频率分布直方图，各组数据的组距为 $355-345=10$。各矩形的纵坐标为频率/组距。各组的频率等于矩形面积，即 $\text{纵坐标}\times 10$。
2. 第二步逻辑（第一四分位数与中位数求解）：

• 第一四分位数对应累积频率达到 $25\%$ （即 $0.25$）处的 $x$ 值。
• 中位数对应累积频率达到 $50\%$ （即 $0.5$）处的 $x$ 值。
• 分别计算各区间的频率，通过累加判定其所在的区间，并利用线性插值法算出确切数值。

3. 第三步逻辑（计算概率估计值 $\hat{p}$）：首次故障时间小于 365 天，对应图中的前两个区间： $[345,355)$ 和 $[355,365)$。将这两个区间的频率相加即得 $\hat{p}$。
4. 第四步逻辑（求二项分布的期望与方差）：已知 $X\sim B(100,\hat{p})$，直接套用公式 $E(X)=np$ 和 $D(X)=np(1-p)$ 进行定量计算。

✅【答案】

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(1) 第一四分位数为 $362.5$，中位数为 $377$ (2) $\hat{p}=0.3$；$E(X)=30$，$D(X)=21$

✍【详细解析】

Abstract

（1）第一四分位数及中位数 各组频率依次为

$0.05,0.10,0.20,0.25,0.15,0.15,0.05,\mathrm{0.05.}$

累计频率依次为 $0.05,0.15,0.35,0.60,0.75,0.90,0.95,1.$ 第一四分位数对应累计频率 $0.25$，位于区间 $[365,375)$内： $Q_1=365+\frac{0.25-0.15}{0.20}\times 10=370.$ 中位数对应累计频率 $(0.50)$，位于区间 $[375,385)$ 内： $M=375+\frac{0.50-0.35}{0.25}\times 10=381.$ 故第一四分位数估计值为370天，中位数估计值为381天。

**（2）

① 求 $\hat{p}$ 首次出现故障时间小于365天的概率估计值为 $\hat{p}=0.05+0.10=\mathrm{0.15.}$

**② 求 $(E(X),D(X))$

由 $(X\sim B(100,0.15))$ ，得 $E(X)=100\times 0.15=15,$ $D(X)=100\times 0.15\times (1-0.15)=\mathrm{12.75.}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频率分布直方图纵轴含义（ $\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$ ）的应用；分位数方程构建；二项分布数字特征计算。
2. 核心方法：面积累加法、公式法。
3. 避坑指南：

• 纵轴数值直接作频率陷阱：部分学生容易将直方图的纵坐标高度（如 $0.01,0.02$）直接当成对应区间的频率代入计算。切记直方图矩形的面积才是频率，必须乘以组距 10。
• 四分位数定义模糊陷阱：混淆第一四分位数（ $25\%$ ）与第三四分位数（ $75\%$ ）。牢记：第一四分位数是从左向右数累积面积达到全图四分之一处的横坐标。

📖【试题探源与推广】

Tip

本题是频率分布直方图与二项分布结合的统计解答题：由”纵轴 $=$ 频率/组距”还原各组频率，线性插值求分位数，再以二项分布期望方差公式收口，属于新高考统计板块的主干常规题型。

直方图中第一四分位数、中位数等分位数均由”累积面积 $=$ 设定值”的线性插值求得；若 $X\sim B(n,p)$，则 $E(X)=np$，$D(X)=np(1-p)$。

直方图问题三步流程：面积即频率 $\to$ 累积频率定区间 $\to$ 区间内插值求解；纵坐标高度直接当频率是最常见的失分点，必须乘以组距。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷文-10 填-中位数与方差最小
• 2009-新课标卷文-19 解-分层抽样与频率分布
• 2010-辽宁卷文-18 解-直方图与独立性检验