2026-新高考I卷-16 解-解三角形

本题导读

本题考查解三角形与平面几何的综合应用。第一问通过已知两边及一角的余弦值，利用余弦定理求出第三边，再通过正弦定理或余弦定理求出目标角的余弦值；第二问引入平行与垂直的几何约束，通过三角形相似比例与解直角三角形，联立方程组求解线段长。

📌【题干】

Question

（2026年新高考I卷）已知在 $△ABC$ 中， $AB=3$， $BC=2\sqrt{3}$， $\cos B=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

（1）求 $\cos A$ ；

（2）设 $D,E$ 两点满足： $D$ 在 $BA$ 的延长线上， $DE\parallel BC$， $AE\perp AC$.若 $DE=\sqrt{6}$，求 $CE$ 的长.

🔍【思路分析】

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1. 第（1）问逻辑：在 $△ABC$ 中，已知边 $c=3,a=2\sqrt{3}$ 以及 $\cos B=\frac{\sqrt{3}}{3}$。首先应用余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ 求出边 $b(AC)$ 的长度。求得 $b$ 后，再次套用余弦定理的变形式 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ 计算出 $\cos A$ 的确切值。
2. 第（2）问逻辑：

• 由 $D$ 在 $BA$ 的延长线上且 $DE\parallel BC$，同旁内角互补可知 $\angle ADE=\pi -\angle ABC$，故 $\cos \angle ADE=-\cos B=-\frac{\sqrt{3}}{3}$。
• 在 $△ADE$ 中，已知边 $DE=\sqrt{6}$，可利用正弦定理 $\frac{AE}{\sin \angle ADE}=\frac{DE}{\sin \angle DAE}$ 求出 $AE$ 的长。
• 结合垂直条件 $AE\perp AC$，可知 $\angle CAE=90^{\circ }$，在直角 $△CAE$ 中由勾股定理 $CE=\sqrt{A{E}^2+A{C}^2}$，代入 $AC=3$ 即可求出 $CE$ 的长。

✅【答案】

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(1) $\frac{1}{3}$ (2) $3\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）第(1)问详解

（1）解：求 $\cos A$ 的值

在 $△ABC$ 中，记 $b=AC$。由余弦定理得： $b^2=A{B}^2+B{C}^2-2AB\cdot BC\cdot \cos B$ 代入已知数据 $AB=3,BC=2\sqrt{3},\cos B=\frac{\sqrt{3}}{3}$： $b^2=3^2+(2\sqrt{3}{)}^2-2\times 3\times 2\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{3}$ $b^2=9+12-12=9⟹b=3$ 即 $AC=3$。（由此可知 $AB=AC=3$， $△ABC$ 为等腰三角形）。

要求 $\cos A$，再次应用余弦定理： $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB\cdot AC}$ 代入各边边长： $\cos A=\frac{3^2+3^2-(2\sqrt{3}{)}^2}{2\times 3\times 3}=\frac{9+9-12}{18}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$

所以， $\cos A=\frac{1}{3}$。

(2) 第(2)问详解

（2）解：求 $CE$ 的长

因为 $AE\perp AC$，所以 $\angle CAE=90^{\circ }$。 由于 $D$ 在 $BA$ 的延长线上，点 $D,A,B$ 三点共线。 可得： $\angle DAE+\angle CAE+\angle BAC=180^{\circ }⟹\angle DAE+90^{\circ }+\angle BAC=180^{\circ }$ 因此，角度间满足互余关系： $\angle DAE=90^{\circ }-\angle BAC$ 根据诱导公式，有： $\sin \angle DAE=\sin (90^{\circ }-\angle BAC)=\cos \angle BAC=\cos A$ 由（1）中已求得的结论，直接代入得： $\sin \angle DAE=\frac{1}{3}$

因为 $DE\parallel BC$ 且 $D,A,B$ 共线，根据平行线同旁内角互补性质： $\angle ABC+\angle ADE=\pi ⟹\angle ADE=\pi -\angle ABC$ 所以： $\cos \angle ADE=\cos (\pi -B)=-\cos B=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ 在 $△DAE$ 中，内角的正弦值恒为正数，利用平方关系求得： $\sin \angle ADE=\sqrt{1-{\cos }^2\angle ADE}=\sqrt{1-{\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{3}{9}}=\sqrt{\frac{6}{9}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

在 $△DAE$ 中，已知边长 $DE=\sqrt{6}$。根据正弦定理： $\frac{AE}{\sin \angle ADE}=\frac{DE}{\sin \angle DAE}$ 将已求出的正弦值代入上式中： $\frac{AE}{\frac{\sqrt{6}}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{\frac{1}{3}}$ 两边同时乘以分母进行代数化简： $AE=\frac{\sqrt{6}}{\frac{1}{3}}\times \frac{\sqrt{6}}{3}=3\sqrt{6}\times \frac{\sqrt{6}}{3}=6$

在直角三角形 $△CAE$ 中， $\angle CAE=90^{\circ }$。 根据勾股定理，有： $CE=\sqrt{A{E}^2+A{C}^2}$ 将 $AE=6,AC=3$ 代入计算： $CE=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$

答： $CE$ 的长度为 $3\sqrt{5}$ .

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双重余弦定理联动变换；利用平行线角度平移及互补角实现跨三角形转化。
2. 核心方法：正弦定理两角和展开法。
3. 避坑指南：

• 钝角补角符号看错陷阱：在计算 $\cos \angle DAC$ 时，由于 $D-A-B$ 为一条直线， $\angle DAC$ 是 $△ABC$ 内角 $A$ 的邻补角。根据诱导公式 $\cos (\pi -A)=-\cos A$，符号必须取负。部分学生容易直接写成 $\cos \angle DAC=\frac{1}{3}$，导致后续角度计算完全混乱。

📖【试题探源与推广】

Tip

本题是双三角形嵌套的解三角形解答题：先在 $△ABC$ 中用余弦定理定形（发现 $AB=AC$ 等腰），再借平行线与垂直条件将角度迁移到 $△DAE$，用正弦定理求 $AE$，最后在直角 $△CAE$ 中勾股收尾，考查跨三角形的边角转化链。

平行线迁移角度的两条基本律：同旁内角互补给出 $\cos \angle ADE=-\cos B$（余弦变号），内错角相等给出正弦相等；钝角位置的三角函数值符号变换是此类题的第一失分点。

当目标边不在已知三角形内时，构造过渡量（本题 $AE$）串联两个三角形：先在含已知条件多的三角形中解出过渡量，再在含目标边的三角形中收口；“两角一对边”结构优先正弦定理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2008-重庆卷理-17
• 2009-天津卷理-17