07.03 三角函数的图象与性质

🟦 三角函数的图象与性质核心考点

核心心法

三角函数的性质研究必须遵循“图象先行”原则。通过对基本函数 $y=\sin x,y=\cos x,y=\tan x$ 的深度剖析，掌握复合函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的变换规律、最值求解及综合应用。

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一、 基础图象性质汇总

（核心维度：定义域、周期性、奇偶性/对称性、单调性、最值/值域）

1. $y=\sin x$

• 定义域：$\mathbb{R}$ | 值域：$[-1,1]$
• 周期性：$T=2\pi$
• 奇偶性：奇函数，图像关于原点对称
• 对称轴：$x=\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$
• 对称中心：$(k\pi ,0)(k\in \mathbb{Z})$
• 单调递增区间：$\left[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right](k\in \mathbb{Z})$
• 单调递减区间：$\left[\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right](k\in \mathbb{Z})$
• 最值：当 $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$ 时，$y_{\max }=1$；当 $x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$ 时，$y_{\min }=-1$

2. $y=\cos x$

• 定义域：$\mathbb{R}$ | 值域：$[-1,1]$
• 周期性：$T=2\pi$
• 奇偶性：偶函数，图像关于 $y$ 轴对称
• 对称轴：$x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$
• 对称中心：$\left(\frac{\pi }{2}+k\pi ,0\right)(k\in \mathbb{Z})$
• 单调递增区间：$\left[-\pi +2k\pi ,2k\pi \right](k\in \mathbb{Z})$
• 单调递减区间：$\left[2k\pi ,\pi +2k\pi \right](k\in \mathbb{Z})$
• 最值：当 $x=2k\pi$ 时，$y_{\max }=1$；当 $x=\pi +2k\pi$ 时，$y_{\min }=-1$

3. $y=\tan x$

• 定义域：$\left\{x\mid x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$ | 值域：$\mathbb{R}$
• 周期性：$T=\pi$
• 奇偶性：奇函数，图像关于原点对称
• 对称中心：$\left(\frac{k\pi }{2},0\right)(k\in \mathbb{Z})$
• 单调递增区间：$\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)(k\in \mathbb{Z})$
• 最值：无最大值和最小值

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二、 周期判断问题

类型	对应关系	周期 $T$
基础三角函数	$\sin x,\cos x\to 2\pi$ ； $\tan x\to \pi$	——
一般复合形式	$y=A\sin (\omega x+\phi )+B$ 等	$T=\frac{2\pi }{\omega }$ (对 $\tan$ 为 $\frac{\pi }{\omega }$)
自变量带绝对值	$\sin	x
整体带绝对值	$	\sin x

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三、 奇偶性问题

• ① 若 $y=A\sin (\omega x+\phi )+B$ 为奇函数，则 $\phi =k\pi (k\in \mathbb{Z}),B=0$
• ② 若 $y=A\sin (\omega x+\phi )+B$ 为偶函数，则 $\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$
• ③ 若 $y=A\cos (\omega x+\phi )+B$ 为奇函数，则 $\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z}),B=0$
• ④ 若 $y=A\cos (\omega x+\phi )+B$ 为偶函数，则 $\phi =k\pi (k\in \mathbb{Z})$

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四、 三角函数最值、值域题型及方法

1. $y=A\sin (\omega x+\phi )+B$：利用图象确定。
2. $y=a{\sin }^{2}x+b\sin x+c$：换元转化为二次函数。
3. $y=\frac{a\sin x+b}{m\sin x+n}$：采用分离常数法。
4. $y=a(\sin x\pm \cos x)+b\sin x\cos x$：令 $t=\sin x\pm \cos x$，整体转化为二次函数。
5. $y=a\sin x+b\cos x$：辅助角公式化一。
6. $y=\frac{a\sin x+b}{m\cos x+n}$：几何意义，转化为斜率问题。
7. $y=a{\sin }^{2}x+b\sin x\cos x+c{\cos }^{2}x$：先降次，再用辅助角公式。
8. $y=a{\tan }^{2}x+b\tan x+c$：换元转化为二次函数。
9. $y=a\sin 2x+b\sin x$：确定周期，利用导数研究单调性求极值。

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五 函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的图象变换

(1) 五点作图法

令 $\omega x+\phi$ 依次取 $0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi$（五个最值点或零点），求出 $x$ 与 $y$ 后描点作图。

(2) 两种变换顺序对比

核心规则

• 变换 1 (先相位，再周期)：$y=\sin x\stackrel{\text{平移 }|\phi |}{\to }y=\sin (x+\phi )\stackrel{\text{横缩 }\frac{1}{\omega }}{\to }y=\sin (\omega x+\phi )$
• 变换 2 (先周期，再相位)：$y=\sin x\stackrel{\text{横缩 }\frac{1}{\omega }}{\to }y=\sin (\omega x)\stackrel{\text{平移 }\frac{|\phi |}{\omega }}{\to }y=\sin (\omega x+\phi )$
• 说明：变换 2 必须向左/右平移 $\frac{|\phi |}{\omega }$ 个单位。

(3) 物理量含义

• 振幅：$A$ | 周期：$T=\frac{2\pi }{\omega }$ | 频率：$f=\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi }$
• 相位：$\omega x+\phi$ | 初相：$\phi$

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六、 核心结论归纳

1. 对称性深度结论

若 $f(x)=a\sin x+b\cos x$ 关于直线 $x=x_0$ 对称，则：

• ① $f(x_0+x)=f(x_0-x)$；② $f(2x_0)=f(0)$；③ $f(x_0)=\pm \sqrt{a^2+b^2}$；④ $f^{\prime }(x_0)=0$。

2. 常用不等式

• 若 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，则 $\sin x<x<\tan x$。
• 若 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，则 $1<\sin x+\cos x\le \sqrt{2}$。

3. $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 求解注意

• (1) $\omega$ 的正负：若 $\omega <0$，必须先用诱导公式使 $x$ 系数为正。
• (2) $A$ 的符号：$A<0$ 时会反转函数的单调性与最值。

4. 限定区间 $[a,b]$ 上的研究

• 值域：从 $x$ 的范围推导 $\omega x+\phi$ 的范围，再由正弦曲线求 $y$ 的范围。
• 单调性：求出标准单调区间，与 $[a,b]$ 取交集。
• 单调函数判定：若在该区间单调，则区间长度 $b-a\le \frac{T}{2}$。

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