2007-上海卷理-05 填-代数式最值

本题导读

本题考查利用基本不等式（均值不等式）求解代数式的最大值。属于考查最值基本功的常规题目。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(理)） 若 $x,y\in {\mathbf{R}}^{+}$，且 $x+4y=1$，则 $x\cdot y$ 的最大值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 观察条件与目标式：已知 $x+4y=1$ 为和的形式，求积 $xy$ 的最大值，可以直接利用基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 构建不等关系。

2. 验证取等条件：确保等号成立时自变量有解且在定义域内。

✅【答案】

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$\frac{1}{16}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $x,y\in {\mathbf{R}}^{+}$，且 $x+4y=1$， 由基本不等式得： $1=x+4y\ge 2\sqrt{x\cdot 4y}=4\sqrt{xy}$ 两边同时除以 4 得： $\sqrt{xy}\le \frac{1}{4}$ 两边平方得： $xy\le \frac{1}{16}$ 当且仅当 $x=4y$，即 $x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{8}$ 时，等号成立． 所以 $x\cdot y$ 的最大值是 $\frac{1}{16}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ （$a,b>0$）的变形应用。

2. 核心方法：公式直接代入法。

3. 避坑指南：必须注意公式中对应的两项分别为 $x$ 和 $4y$，放缩出来的是 $4xy$ 而非 $xy$，开方及平方时需准确处理系数。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中“基本不等式”章节的最基础应用习题，是“已知和求积之最大值”的最典型数学模型。

5. 结论推广：对任意正实数 $x,y$，若满足 $\alpha x+\beta y=C$（$\alpha ,\beta ,C>0$ 为常数），则当且仅当 $\alpha x=\beta y=\frac{C}{2}$ 时，积 $xy$ 取得最大值，最大值为 $\frac{C^2}{4\alpha \beta }$．

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷I理-08 单-抛物线焦点