2018-全国卷I理-08 单-抛物线焦点

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与焦点，以及直线与抛物线的位置关系。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I理）设抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点为 $F$，过点 $(-2,0)$ 且斜率为 $\frac{2}{3}$ 的直线与 $C$ 交于 $M,N$ 两点，则 $\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FN}=$()

A. $5$　　　　　　　B. $6$　　　　　　　C. $7$　　　　　　　D. $8$

🔍【思路分析】

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1. 确定直线方程：已知斜率 $k=\frac{2}{3}$ 和点 $(-2,0)$，写出直线 $l$ 的方程。
2. 求焦点坐标：由 $y^2=4x$ 知 $2p=4$，求出 $F$。
3. 求交点坐标：联立直线与抛物线方程。本题中由于方程解出的 $y$ 为整数，直接算出 $M,N$ 的坐标最简单。
4. 向量点积：写出 $\overrightarrow{FM}$ 和 $\overrightarrow{FN}$ 的坐标，利用 $x_1{x}_2+y_1{y}_2$ 求解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】 第一步：求焦点 $F$ 抛物线 $C:y^2=4x$，其中 $2p=4⟹p=2$。 焦点 $F$ 的坐标为 $(\frac{p}{2},0)$，即 $F(1,0)$。

第二步：联立方程求交点 直线的点斜式方程为：$y-0=\frac{2}{3}(x+2)⟹x=\frac{3}{2}y-2$。 代入 $y^2=4x$ 得： $y^2=4(\frac{3}{2}y-2)$ $y^2=6y-8⟹y^2-6y+8=0$ 解得 $y_1=2,y_2=4$。 代入 $x=\frac{y^2}{4}$：

• 当 $y_1=2$ 时，$x_1=1$，点 $M(1,2)$；
• 当 $y_2=4$ 时，$x_2=4$，点 $N(4,4)$。

第三步：向量运算 已知 $F(1,0),M(1,2),N(4,4)$，则： $\overrightarrow{FM}=(1-1,2-0)=(0,2)$ $\overrightarrow{FN}=(4-1,4-0)=(3,4)$ 计算数量积： $\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FN}=0\times 3+2\times 4=8$

故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 焦点位置：注意 $y^2=2px$ 的焦点在 $x$ 轴上，不要习惯性写成 $(0,1)$。
2. 运算策略：如果联立后的方程根不整（带根号），则应使用韦达定理。 设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，则 $\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FN}=(x_1-1)(x_2-1)+y_1{y}_2$。 将 $x=\frac{y^2}{4}$ 全部转化为 $y$ 的表达式进行化简，结果一致。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个结论：

• 对于抛物线 $y^2=2px$，若直线过定点 $(-p,0)$（即准线与轴的交点），这类题目的数值往往具有某种对称性或整数特性，是高考命题的高频点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-06 单-抛物线的标准方程与焦点坐标
• 2013-大纲卷理-11 单-抛物线性质
• 2013-安徽卷理-13 填-抛物线与直线的关系