2007-北京卷文-04 单-椭圆离心率范围

本题导读

本题考查椭圆的准线，以及椭圆的离心率。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(文)） 椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的焦点为 $F_1$，$F_2$，两条准线与 $x$ 轴的交点分别为 $M$，$N$．若 $|MN|⩽2|F_1{F}_2|$，则该椭圆离心率的取值范围是 ()

A. $\left(0,\frac{1}{2}\right]$　　　　B. $\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$　　　　C. $\left[\frac{1}{2},1\right)$　　　　D. $\left[\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$

🔍【思路分析】

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1. 准线 $x=\pm \frac{a^2}{c}$，故 $|MN|=\frac{2a^2}{c}$；焦距 $|F_1{F}_2|=2c$。
2. 代入 $\frac{2a^2}{c}⩽4c$，得 $e^2=\frac{c^2}{a^2}⩾\frac{1}{2}$。
3. 结合 $0<e<1$ 读出范围。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

两条准线为 $x=\pm \frac{a^2}{c}$，故 $|MN|=\frac{2a^2}{c}$；又 $|F_1{F}_2|=2c$． 由 $|MN|⩽2|F_1{F}_2|$ 得 $\frac{2a^2}{c}⩽4c⟹a^2⩽2c^2⟹e^2=\frac{c^2}{a^2}⩾\frac{1}{2}.$ 又椭圆离心率满足 $0<e<1$，所以 $\frac{\sqrt{2}}{2}⩽e<1,$ 选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆离心率范围

核心方法：准线距用 a,c 表示，不等式转 e

避坑指南：|MN|=2a²/c 中的 c 在分母，别写成 2c²/a

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆准线与离心率

结论推广：e²=1−b²/a²，且 0<e<1

方法推广：几何量的不等式约束统一转化为 e 的范围

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.06 离心率专题

类题演练(Links)

• 2009-浙江卷文-06 单-椭圆离心率
• 2009-重庆卷文-15 填-椭圆离心率范围