2007-北京卷文-06 单-线性规划区域形状

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，以及区域形状的判定。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(文)） 若不等式组 $\{\begin{array}{l}x-y+5⩾0,\\ y⩾a,\\ 0⩽x⩽2\end{array}$ 表示的平面区域是一个三角形，则 $a$ 的取值范围是 ()

A. $a<5$　　　　　B. $a⩾7$　　　　　C. $5⩽a<7$　　　　　D. $a<5$ 或 $a⩾7$

🔍【思路分析】

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1. 前两条给出带状区域 $a⩽y⩽x+5$，且 $0⩽x⩽2$，其中 $x+5\in [5,7]$。
2. $a<5$：$y=a$ 整体在 $y=x+5$ 下方，区域为矩形。
3. $5⩽a<7$：$y=a$ 与 $y=x+5$ 相交于区域内，截出三角形。
4. $a⩾7$：区域为空或退化。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $x-y+5⩾0$ 得 $y⩽x+5$；在 $0⩽x⩽2$ 上，$x+5$ 的最小值为 $5$、最大值为 $7$．

• 当 $a<5$ 时，直线 $y=a$ 位于直线 $y=x+5$ 的下方（对每个 $x\in [0,2]$ 都有 $a<5⩽x+5$），区域是一个矩形，不符合；
• 当 $5⩽a<7$ 时，直线 $y=a$ 与 $y=x+5$ 在区域内相交（交点横坐标 $x=a-5\in [0,2)$），区域为三角形，顶点为 $\left(a-5,a\right)$、$(2,a)$、$(2,7)$，符合；
• 当 $a⩾7$ 时，区域为空集或退化为一点，不符合． 故 $a$ 的取值范围是 $5⩽a<7$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划区域形状

核心方法：按 a 分类讨论边界交点

避坑指南：a=5 时交点落在 x=0 边界上、a=7 时退化，均非三角形；开闭区间要扣准

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二元一次不等式组与平面区域

结论推广：带状区域与动直线的相对位置决定形状

方法推广：含参区域问题按参数分类，逐一画草图

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练(Links)

• 2008-北京卷文-06 单-线性规划最小值
• 2008-湖北卷文-05 单-不等式组平面区域