2007-北京卷文-16 解-递推数列等比条件

本题导读

本题考查等比数列的定义。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(文)） 数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=2$，$a_{n+1}=a_n+c\cdot n$（$c$ 是常数，$n=1,2,3,\cdots$），且 $a_1$，$a_2$，$a_3$ 成公比不为 $1$ 的等比数列． （1）求 $c$ 的值； （2）求 $\{a_n\}$ 的通项公式．

🔍【思路分析】

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1. 用递推写出 $a_2=2+c$，$a_3=2+3c$。
2. 等比条件 $a_2^2=a_1{a}_3$，解出 $c$ 并按”公比不为 1”舍根。
3. （2）累加：$a_n-a_1=[1+2+\cdots +(n-1)]c$。

✅【答案】

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（1）$c=2$；（2）$a_n=n^2-n+2$（$n=1,2,3,\cdots$）

✍【详细解析】

Abstract

（1） $a_1=2$，$a_2=a_1+c\cdot 1=2+c$，$a_3=a_2+c\cdot 2=2+3c$． 由 $a_1,a_2,a_3$ 成等比数列，得 $a_2^2=a_1{a}_3$，即 $(2+c{)}^2=2(2+3c)⟹4+4c+c^2=4+6c⟹c^2-2c=0,$ 解得 $c=0$ 或 $c=2$． 当 $c=0$ 时 $a_1=a_2=a_3=2$，公比为 $1$，不合题意，舍去；故 $c=2$． （2） 当 $n⩾2$ 时， $a_n-a_1=(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\cdots +(a_n-a_{n-1})=(1+2+\cdots +(n-1))\cdot 2=n(n-1),$ 故 $a_n=2+n(n-1)=n^2-n+2$；$n=1$ 时 $a_1=2=1-1+2$，也满足． 所以 $a_n=n^2-n+2$（$n=1,2,3,\cdots$）．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：递推数列等比条件

核心方法：前三项列等比方程，叠加求通项

避坑指南：c=0 时公比为 1，必须按”公比不为 1”舍去

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列的定义与叠加法

结论推广：aₙ₊₁=aₙ+cn 型通项用累加：aₙ=2+n(n−1)

方法推广：递推+等比条件先定参数，再求通项

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练(Links)

• 2008-天津卷文-20 解-递推数列等差等比
• 2008-安徽卷文-21 解-递推数列三问