2007-北京卷文-19 解-圆与双曲线轨迹

本题导读

本题考查直线的方程。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(文)） 如图，矩形 $ABCD$ 的两条对角线相交于点 $M(2,0)$，$AB$ 边所在直线的方程为 $x-3y-6=0$，点 $T(-1,1)$ 在 $AD$ 边所在直线上． （1）求 $AD$ 边所在直线的方程； （2）求矩形 $ABCD$ 外接圆的方程； （3）若动圆 $P$ 过点 $N(-2,0)$，且与矩形 $ABCD$ 的外接圆外切，求动圆 $P$ 的圆心的轨迹方程．

🔍【思路分析】

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1. （1）$AD\perp AB$，斜率乘积 $-1$：$k_{AD}=-3$，点斜式写出。
2. （2）$A$ 是 $AB$ 与 $AD$ 的交点，解方程组得 $A(0,-2)$；矩形中心 $M$ 即外接圆圆心，半径 $=|AM|$。
3. （3）动圆过 $N$，半径 $=|PN|$；外切给出 $|PM|=2\sqrt{2}+|PN|$，即 $|PM|-|PN|=2\sqrt{2}<|MN|=4$，双曲线定义；$|PM|>|PN|$ 取左支。

✅【答案】

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（1）$3x+y+2=0$；（2）$(x-2{)}^2+y^2=8$；（3）$x^2-y^2=2$（$x⩽-\sqrt{2}$）

✍【详细解析】

Abstract

（1） $AB$ 边所在直线 $x-3y-6=0$ 的斜率为 $\frac{1}{3}$，$AD\perp AB$，故 $k_{AD}=-3$． 又 $T(-1,1)$ 在 $AD$ 上，故 $AD$：$y-1=-3(x+1)$，即 $3x+y+2=0.$ （2） 联立 $\{\begin{array}{l}x-3y-6=0,\\ 3x+y+2=0\end{array}$ 解得 $A(0,-2)$． 矩形两条对角线的交点 $M(2,0)$ 到四个顶点距离相等，即 $M$ 为外接圆圆心，半径 $r=|AM|=\sqrt{(2-0{)}^2+(0+2{)}^2}=2\sqrt{2}.$ 故外接圆方程为 $(x-2{)}^2+y^2=8.$ （3） 动圆 $P$ 过点 $N(-2,0)$，故其半径 $r_P=|PN|$． 动圆与外接圆（圆心 $M$、半径 $2\sqrt{2}$）外切，则 $|PM|=2\sqrt{2}+|PN|,\text{即}|PM|-|PN|=2\sqrt{2}.$ 又 $|MN|=4>2\sqrt{2}$，由双曲线定义，$P$ 的轨迹是以 $M$、$N$ 为焦点、实轴长 $2\sqrt{2}$ 的双曲线；因 $|PM|>|PN|$，$P$ 靠近 $N$，取左支． 实半轴长 $a=\sqrt{2}$，半焦距 $c=2$，虚半轴长 $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{2}$．双曲线中心为 $MN$ 中点即原点，故轨迹方程为 $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1(x⩽-\sqrt{2}).$ 【注】答案册该小问文本层误印为”$\frac{(x-2{)}^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$ 的左支 $x⩽0$“，与官方解析（以 $M,N$ 为焦点、实轴长 $2\sqrt{2}$ 的双曲线左支）矛盾，且该方程上的点不满足 $|PM|-|PN|=2\sqrt{2}$；本库按官方解析多源一致的 $x^2-y^2=2$（$x⩽-\sqrt{2}$）录入．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆与双曲线轨迹

核心方法：定义法求双曲线，判左支

避坑指南：|PM|−|PN|=2√2 是”到两定点距离差”，焦点是 M,N 而非圆心；|PM|>|PN| 取靠近 N 的左支

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线的第一定义

结论推广：||PM|−|PN||=2a<|MN| 时轨迹是双曲线的一支

方法推广：轨迹问题先判定曲线类型（用定义），再定支（用不等号方向）

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练(Links)

• 2013-新课标II卷文-20 解-圆的方程与轨迹
• 2012-辽宁卷文-20 解-椭圆动圆与轨迹