2013-新课标II卷文-20 解-圆的方程与轨迹

本题导读

本题考查圆的方程。核心在于弦长与弦心距的勾股关系、作差消元求轨迹的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(文)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $P$ 在 $x$ 轴上截得线段长为 $2\sqrt{2}$，在 $y$ 轴上截得线段长为 $2\sqrt{3}$.

(1)求圆心 $P$ 的轨迹方程；

(2)若 $P$ 点到直线 $y=x$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，求圆 $P$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $P(u,v)$、半径 $r$：$x$ 轴方向给 $r^2-v^2=2$，$y$ 轴方向给 $r^2-u^2=3$。
2. 两式作差消 $r^2$，得 $v^2-u^2=1$。
3. （2）$\frac{|v-u|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow (v-u{)}^2=1$，与轨迹式联立，分 $v-u=1$、$v-u=-1$ 两支求解。

✅【答案】

点击查看答案

(1)$y^2-x^2=1$ (2)${\left(x+\frac{\sqrt{6}}{12}\right)}^2+{\left(y-\frac{5\sqrt{6}}{12}\right)}^2=\frac{73}{24}$ 或 ${\left(x-\frac{\sqrt{6}}{12}\right)}^2+{\left(y+\frac{5\sqrt{6}}{12}\right)}^2=\frac{73}{24}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 设圆心 $P(u,v)$，半径为 $r$（$r>0$）。 圆在 $x$ 轴上截得弦长为 $2\sqrt{2}$，弦心距为 $|v|$，由勾股关系 $r^2-v^2={\left(\frac{2\sqrt{2}}{2}\right)}^2=2.$同理，圆在 $y$ 轴上截得弦长为 $2\sqrt{3}$，弦心距为 $|u|$，故 $r^2-u^2={\left(\frac{2\sqrt{3}}{2}\right)}^2=3.$ 两式相减消去 $r^2$： $v^2-u^2=1.$ 即圆心 $P$ 的轨迹方程为 $y^2-x^2=1.$ 反之，轨迹上任意一点 $(u,v)$ 都可取 $r^2=u^2+3=v^2+2>0$，能使两条弦长恰为题设值，故轨迹完整。 （2） 由点 $P(u,v)$ 到直线 $y=x$（即 $x-y=0$）的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$： $\frac{|u-v|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}⟹|u-v|=1⟹(v-u{)}^2=1.$ 又由（1）有 $(v-u)(v+u)=v^2-u^2=1.$ 令 $s=v-u$，$t=v+u$，则 $s^2=1$，$st=1$，故 $(s,t)=\left(1,1\right)\text{或}(s,t)=\left(-1,-1\right).$ 由 $u=\frac{t-s}{2}$，$v=\frac{t+s}{2}$ 得两个圆心： $P_1(0,1)\text{（当 }s=t=1\text{）},P_2(0,-1)\text{（当 }s=t=-1\text{）}.$ 半径平方均为 $r^2=u^2+3=0+3=3.$ 所以圆 $P$ 的方程为 $x^2+(y-1{)}^2=3\text{或}{x}^2+(y+1{)}^2=3.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的方程与点的轨迹方程的求法

核心方法：由弦长与弦心距的勾股关系列出 $r^2-v^2=2$、$r^2-u^2=3$，作差消 $r$ 得轨迹；再用点到直线的距离条件解方程组

避坑指南：（2）中”$P$ 到直线 $y=x$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$“给出 $(v-u{)}^2=1$，与轨迹式 $v^2-u^2=1$ 联立时，注意 $v-u=\pm 1$ 两支都要讨论，得到两个圆心、两个圆，不能只写一个。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆的方程与轨迹方程（全国卷高频）。

结论推广：圆在 $x$ 轴上的弦长 $2\sqrt{r^2-v^2}$（圆心 $(u,v)$、半径 $r$）；点在直线 $Ax+By+C=0$ 上的距离 $d=\frac{|Au+Bv+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。

方法推广：求轨迹方程的通法：设动点 $(u,v)$ → 把几何条件写成等式 → 化简并检验。消去半径类”中间量”时常用作差法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-12 单-圆与45度角
• 2015-新课标II卷文-07 单-外接圆
• 2013年新课标Ⅱ理-20