2007-四川卷理-11 单-两角正弦公式

本题导读

本题考查平行线内嵌正三角形边长的求解。通过引入辅助角表示各顶点到平行线的垂直投影距离，利用三角恒等变换构建方程，体现了将几何结构代数化的数形结合思想。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(理)） 如图，$l_1,l_2,l_3$ 是同一平面内的三条平行直线，$l_1$ 与 $l_2$ 间的距离是 1，$l_2$ 与 $l_3$ 间的距离是 2，正三角形 $ABC$ 的三顶点分别在 $l_1,l_2,l_3$ 上，则 $△ABC$ 的边长是()

A. $2\sqrt{3}$　　　　　　B. $\frac{4\sqrt{6}}{3}$　　　　　　C. $\frac{3-\sqrt{7}}{4}$　　　　　　D. $\frac{2\sqrt{21}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 引入变量：设正三角形 $ABC$ 的边长为 $x$，设边 $AB$ 与平行线 $l_1,l_2$ 的夹角为 $\theta$．

2. 构建三角方程：根据平行线间距，得出 $x\sin \theta =1$．再依据正三角形内角为 $60^{\circ }$ 结合图形可知，边 $AC$ 与平行线的夹角为 $\theta +60^{\circ }$，从而满足 $x\sin (\theta +60^{\circ })=1+2=3$．

3. 展开化简：利用两角和的正弦公式展开并进行代数消元，求出边长 $x$．

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设正三角形 $ABC$ 的边长为 $x$． 过点 $A$ 作平行线 $l_1$ 的垂线，设直线 $AB$ 与平行线之间的夹角为 $\theta$． 根据 $l_1$ 与 $l_2$ 之间的距离为 1，在直角三角形投影中可得： $x\sin \theta =1⟹\sin \theta =\frac{1}{x}$ 由于 $△ABC$ 为正三角形，内角 $\angle BAC=60^{\circ }$，由图可知，边 $AC$ 与平行线之间的夹角为 $\theta +60^{\circ }$． 根据 $l_1$ 到 $l_3$ 的总距离为 $1+2=3$，同理可得： $x\sin (\theta +60^{\circ })=3$ 应用两角和的正弦公式展开上式： $x\left(\sin \theta \cos 60^{\circ }+\cos \theta \sin 60^{\circ }\right)=3$ $x\left(\frac{1}{2}\sin \theta +\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta \right)=3$ $\frac{1}{2}x\sin \theta +\frac{\sqrt{3}}{2}x\cos \theta =3$ 将 $x\sin \theta =1$ 代入上式中： $\frac{1}{2}\times 1+\frac{\sqrt{3}}{2}x\cos \theta =3⟹\frac{\sqrt{3}}{2}x\cos \theta =\frac{5}{2}⟹x\cos \theta =\frac{5}{\sqrt{3}}$ 利用同角三角函数的平方关系恒等式 $(x\sin \theta {)}^2+(x\cos \theta {)}^2=x^2$，代入已知项： $x^2=1^2+{\left(\frac{5}{\sqrt{3}}\right)}^2=1+\frac{25}{3}=\frac{28}{3}$ 开方化简得边长： $x=\sqrt{\frac{28}{3}}=\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{21}}{3}$ 故选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正三角形的几何特征，两角和的正弦公式展开，数形结合思想。

2. 核心方法：三角函数投影法，代数平方和消元法。

3. 避坑指南：正确识别边 $AC$ 对应的投影高度是 $1+2=3$ 而非单一的 2 ；在代数消元时，利用整体乘积 $x\sin \theta$ 与 $x\cos \theta$ 的平方和构造 $x^2$ 可免去求解复杂角度的繁琐步骤。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于初等几何中的经典问题——“平行线内嵌正多边形”，是利用三角函数作为桥梁解决纯几何度量问题的代表性题目。

5. 结论推广：若正三角形的三顶点落在间距分别为 $a$ 和 $b$ 的三条平行直线上，则该正三角形的边长 $x$ 与间距满足通式恒等关系：$x^2=\frac{4}{3}(a^2+ab+b^2)$．

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-04 单-向量数量积