2007-四川卷理-17 解-三角函数给值求角

本题导读

本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式以及二倍角公式。通过合理的变角技巧将未知角用已知角表示，考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力以及对角范围的严谨控制。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(理)） 已知 $\cos \alpha =\frac{1}{7},\cos (\alpha -\beta )=\frac{13}{14}$，且 $0<\beta <\alpha <\frac{\pi }{2}$。

(1) 求 $\tan 2\alpha$ 的值；

(2) 求 $\beta$。

🔍【思路分析】

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1. 对于(1)，由已知 $\cos \alpha$ 结合第一象限范围求出 $\sin \alpha$，得到 $\tan \alpha$ 的值，再代入二倍角正切公式计算即可；
2. 对于(2)，观察已知角与未知角的关系，利用变角公式 $\beta =\alpha -(\alpha -\beta )$。首先根据已知角的范围确定 $\alpha -\beta$ 的范围并求出 $\sin (\alpha -\beta )$，最后利用两角差的余弦公式求出 $\cos \beta$ 从而确定 $\beta$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解： (1) 因为 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$，所以 $\sin \alpha >0$。 由 $\cos \alpha =\frac{1}{7}$，得： $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{7}\right)}^2}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$ 所以： $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{4\sqrt{3}}{7}}{\frac{1}{7}}=4\sqrt{3}$ 则： $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{2\times 4\sqrt{3}}{1-(4\sqrt{3}{)}^2}=\frac{8\sqrt{3}}{1-48}=-\frac{8\sqrt{3}}{47}$

(2) 因为 $0<\beta <\alpha <\frac{\pi }{2}$， 所以 $0<\alpha -\beta <\frac{\pi }{2}$，从而 $\sin (\alpha -\beta )>0$。 由 $\cos (\alpha -\beta )=\frac{13}{14}$，得： $\sin (\alpha -\beta )=\sqrt{1-{\cos }^2(\alpha -\beta )}=\sqrt{1-{\left(\frac{13}{14}\right)}^2}=\frac{3\sqrt{3}}{14}$ 因为 $\beta =\alpha -(\alpha -\beta )$， 所以： $\cos \beta =\cos [\alpha -(\alpha -\beta )]=\cos \alpha \cos (\alpha -\beta )+\sin \alpha \sin (\alpha -\beta )$ $\cos \beta =\frac{1}{7}\times \frac{13}{14}+\frac{4\sqrt{3}}{7}\times \frac{3\sqrt{3}}{14}=\frac{13}{98}+\frac{36}{98}=\frac{49}{98}=\frac{1}{2}$ 又因为 $0<\beta <\frac{\pi }{2}$， 所以 $\beta =\frac{\pi }{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角恒等变换与给值求角。
2. 核心方法：变角思想。将未知角拆分或组合为已知角的和或差，如 $\beta =\alpha -(\alpha -\beta )$。
3. 避坑指南：求角的过程中必先求范围。本题中由 $0<\beta <\alpha <\frac{\pi }{2}$ 准确推导出 $0<\alpha -\beta <\frac{\pi }{2}$ 是决定 $\sin (\alpha -\beta )$ 符号的关键，极易因忽略此步导致漏解或错解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考对三角变换考查的经典题型，源自课本中“两角和与差的三角公式”后的习题改编，重点突出对公式的逆用和变角技巧。
2. 结论推广：在处理“给值求角”问题时，若已知两个角的三角函数值求第三个角，常用的变角模式有：$\alpha =(\alpha +\beta )-\beta$，$\beta =\alpha -(\alpha -\beta )$，$2\alpha =(\alpha +\beta )+(\alpha -\beta )$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-16 填-正弦定理
• 2020-新高考I卷-17 解-解三角形