2007-大纲卷I文-10 单-二倍角降幂与单调区间

本题导读

本题考查二倍角公式（降幂），以及三角函数的单调区间。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(文)） 函数 $y=2{\cos }^{2}x$ 的一个单调增区间是 ()

A. $\left(-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right)$　　　　B. $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$　　　　C. $\left(\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right)$　　　　D. $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$

🔍【思路分析】

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1. 降幂 $y=2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$。
2. $y=1+\cos 2x$ 的增区间即 $\cos 2x$ 的增区间：$2x\in (2k\pi ,2k\pi +\pi )$ 的补集——$\cos t$ 在 $(2k\pi ,2k\pi +\pi )$ 上递减、在 $(2k\pi -\pi ,2k\pi )$ 上递增，逐个核对选项。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由降幂公式 $y=2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x,y^{\prime }=-2\sin 2x.$ 在 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 内，$2x\in (\pi ,2\pi )$，$\sin 2x<0$，故 $y^{\prime }>0$，函数在该区间上单调递增，选 D． （其余三个区间内 $\sin 2x>0$，函数递减，均不符合。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角降幂与单调区间

核心方法：降幂 $2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$ 后按 $\omega x$ 的范围核对

避坑指南：增区间对应 $\cos 2x$ 的增区间：$2x\in (2k\pi -\pi ,2k\pi )$（不是 $(2k\pi ,2k\pi +\pi )$，那是 $\cos$ 的减区间）；逐项验证四个选项最稳。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：降幂公式化单角再讨论单调性是三角函数小题的标准流程。

结论推广：$y=A\cos (\omega x+\phi )$ 的增区间由 $\omega x+\phi \in (2k\pi -\pi ,2k\pi )$ 给出（$A>0$）。

方法推广：求 $\cos$ 型函数的单调区间，先降幂（或整体换元 $t=\omega x+\phi$），再借 $\cos t$ 的图象。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练(Links)

• 2011-新课标卷文-07 单-二倍角余弦
• 2014-新课标II卷文-14 填-三角恒等变换