2007-浙江卷文-12 填-二倍角条件求值

本题导读

本题考查同角三角函数基本关系，以及二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(文)） 若 $\sin \theta +\cos \theta =\frac{1}{5}$，则 $\sin 2\theta$ 的值是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 两边平方：${\sin }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta =\frac{1}{25}$。
2. 用 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 与 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$。

✅【答案】

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$-\frac{24}{25}$

✍【详细解析】

Abstract

将 $\sin \theta +\cos \theta =\frac{1}{5}$ 两边平方： ${\sin }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta =\frac{1}{25},$ 即 $1+\sin 2\theta =\frac{1}{25}$，所以 $\sin 2\theta =-\frac{24}{25}$． （检验：$\sin 2\theta =-\frac{24}{25}$ 说明 $2\theta$ 在第三、四象限，与 $\sin \theta +\cos \theta =\frac{1}{5}>0$ 而 $|\sin \theta |$，$|\cos \theta |$ 一大一小相容，无误。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角条件求值

核心方法：条件式两边平方：$1+\sin 2\theta =\frac{1}{25}$

避坑指南：平方前不必求 $\sin \theta$、$\cos \theta$ 的具体值；$\sin 2\theta$ 为负说明 $\theta$ 所在象限，可作检验

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源："$\sin \theta +\cos \theta$"结构是三角恒等变换的经典入口

结论推广：平方出 $\sin 2\theta$；亦可换元 $t=\sin \theta +\cos \theta$，$\sin 2\theta =t^2-1$

方法推广：同款结论：${\left(\sin \theta +\cos \theta \right)}^2=1+\sin 2\theta$、${\left(\sin \theta -\cos \theta \right)}^2=1-\sin 2\theta$，两者乘积为 $\cos 2\theta$

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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类题演练(Links)

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• 2007-北京卷文-13 填-弦图与二倍角
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