2007-大纲卷I文-11 单-导数的几何意义与切线三角形

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及切线与坐标轴围成三角形。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(文)） 曲线 $y=\frac{1}{3}{x}^3+x$ 在点 $\left(1,\frac{4}{3}\right)$ 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ()

A. $\frac{1}{9}$　　　　　　　B. $\frac{2}{9}$　　　　　　　C. $\frac{1}{3}$　　　　　　　D. $\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

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1. $y^{\prime }=x^2+1$，在 $x=1$ 处切线斜率 $k=2$。
2. 切线 $y-\frac{4}{3}=2(x-1)$，求两截距后算直角三角形面积。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$y^{\prime }=x^2+1$，在 $x=1$ 处切线斜率 $k=1^2+1=2$． 切线方程为 $y-\frac{4}{3}=2(x-1)$，即 $y=2x-\frac{2}{3}$． 令 $y=0$ 得横截距 $x=\frac{1}{3}$；令 $x=0$ 得纵截距 $y=-\frac{2}{3}$． 切线与坐标轴围成的直角三角形面积 $S=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{9},$ 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义与切线三角形

核心方法：求导定斜率 → 写切线 → 求双截距 → 算直角三角形面积

避坑指南：纵截距是 $-\frac{2}{3}$（负值），面积取绝对值 $\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \frac{2}{3}$；漏掉绝对值会得负面积。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：切线与坐标轴围成三角形面积是导数几何意义的经典组合题（2008 大纲Ⅰ文第 4 题、2011 山东文第 4 题同型）。

结论推广：曲线 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处切线 $y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$。

方法推广：切线题四步：求导 → 代点得斜率 → 写切线 → 按目标（截距/面积/距离）收尾。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练(Links)

• 2011-山东卷文-04 单-导数切线截距
• 2007-新课标卷文-10 单-导数的几何意义与切线三角形