2007-大纲卷I文-22 解-椭圆垂直弦与四边形面积最值

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与焦点。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(文)） 已知椭圆 $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$ 的左，右焦点分别为 $F_1$，$F_2$．过 $F_1$ 的直线交椭圆于 $B$，$D$ 两点，过 $F_2$ 的直线交椭圆于 $A$，$C$ 两点，且 $AC\perp BD$，垂足为 $P$． （1）设 $P$ 点的坐标为 $(x_0,y_0)$．证明：$\frac{x_0^2}{3}+\frac{y_0^2}{2}<1$； （2）求四边形 $ABCD$ 的面积的最小值．

🔍【思路分析】

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1. （1）$c^2=1$，$F_1(-1,0)$，$F_2(1,0)$；$P$ 不与焦点重合时 $\overrightarrow{P{F}_1}$、$\overrightarrow{P{F}_2}$ 分别沿 $BD$、$AC$，由垂直得数量积为零，展开即 $x_0^2+y_0^2=1$；$P$ 与焦点重合时同样成立。
2. 代换 $y_0^2=1-x_0^2$ 把目标式化为 $\frac{1}{2}-\frac{x_0^2}{6}$。
3. （2）设 $BD$ 斜率 $m\ne 0$，$u=m^2$；弦长公式得 $|BD|=\frac{4\sqrt{3}(u+1)}{2+3u}$、$|AC|=\frac{4\sqrt{3}(u+1)}{2u+3}$，对角线垂直时 $S=\frac{1}{2}|AC||BD|$，再配凑 $(u-1{)}^2$。

✅【答案】

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（1）证明见解析；（2）最小值为 $\frac{96}{25}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） $c^2=3-2=1$，故 $F_1=(-1,0)$，$F_2=(1,0)$． 当 $P$ 不与 $F_1$、$F_2$ 重合时，$\overrightarrow{P{F}_1}$ 与 $\overrightarrow{P{F}_2}$ 分别沿直线 $BD$、$AC$，由 $AC\perp BD$ 得 $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=(-1-x_0)(1-x_0)+y_0^2=x_0^2+y_0^2-1=0,$ 即 $x_0^2+y_0^2=1$；当 $P$ 与某一焦点重合时，$x_0^2+y_0^2=1$ 同样成立． 于是 $\frac{x_0^2}{3}+\frac{y_0^2}{2}=\frac{x_0^2}{3}+\frac{1-x_0^2}{2}=\frac{1}{2}-\frac{x_0^2}{6}⩽\frac{1}{2}<1,$ 命题得证． （2） 先设直线 $BD$ 不垂直于 $x$ 轴且斜率 $m\ne 0$，令 $u=m^2>0$，则 $BD:y=m(x+1)$，与椭圆联立： $(2+3u)x^2+6ux+3u-6=0.$ 由韦达定理与弦长公式（纵坐标差为 $m(x_1-x_2)$）： $|BD|=\sqrt{1+m^2}|x_1-x_2|=\frac{4\sqrt{3}(u+1)}{2+3u}.$ 直线 $AC$ 的斜率为 $-\frac{1}{m}$，把上式中 $u$ 换成 $\frac{1}{u}$ 得 $|AC|=\frac{4\sqrt{3}(u+1)}{2u+3}.$ 两条对角线 $AC\perp BD$，故 $S_{ABCD}=\frac{1}{2}|AC|\cdot |BD|=\frac{24(u+1{)}^2}{(3u+2)(2u+3)}.$ 注意到 $\frac{(u+1{)}^2}{(3u+2)(2u+3)}-\frac{4}{25}=\frac{25(u+1{)}^2-4(3u+2)(2u+3)}{25(3u+2)(2u+3)}=\frac{(u-1{)}^2}{25(3u+2)(2u+3)}⩾0,$ 所以 $S_{ABCD}⩾\frac{96}{25}$，当 $u=1$ 即 $m=\pm 1$ 时取等号． 若 $BD$ 水平（$m=0$），则 $|BD|=2\sqrt{3}$、$|AC|=\frac{4}{\sqrt{3}}$，面积 $=4>\frac{96}{25}$；$AC$ 竖直的情形相同，均不影响最小值． 故四边形 $ABCD$ 面积的最小值为 $\frac{96}{25}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆垂直弦与四边形面积最值

核心方法：数量积定 $x_0^2+y_0^2$ → 弦长公式 → 配凑完全平方求最值

避坑指南：$\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=0$ 来自 $AC\perp BD$ 与两向量分别沿两直线，前提是 $P$ 不与焦点重合（重合情形要单独补一句）；$\frac{(u-1{)}^2}{25(3u+2)(2u+3)}⩾0$ 的分母恒正（$u>0$），别丢。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“过两焦点作互相垂直的弦，求四边形面积最值”是椭圆综合题的经典命题（2008 大纲Ⅱ文 22、2008 安徽文 22 同族）。

结论推广：对角线互相垂直的四边形面积 $=\frac{1}{2}\times$ 两对角线之积；椭圆中焦点弦长可用弦长公式统一处理。

方法推广：解析几何最值的收尾套路：把目标式整理成 $A+\frac{(\text{变量}-u_0{)}^2}{\text{正式}}$ 型，读出最小值与取等条件；斜率不存在或为零的特殊情形单独核算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练(Links)

• 2008-大纲卷II文-22 解-椭圆直线交点与面积最值
• 2008-安徽卷文-22 解-椭圆焦点弦最值