2007-大纲卷I理-02 单-复数概念

本题导读

本题考查复数的除法运算及实数的概念。核心在于将包含复数的分式通过分母实数化化简为标准代数式 $A+B\text{i}$，令其虚部 $B=0$ 从而解出实数参数 $a$。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(理)） 设 $a$ 是实数，且 $\frac{a}{1+\text{i}}+\frac{1+\text{i}}{2}$ 是实数，则 $a=$()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. $\frac{3}{2}$　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分项化简复数分式：

• 第一项 $\frac{a}{1+\text{i}}$，分子分母同乘 $(1-\text{i})$ 进行分母实数化。
• 第二项 $\frac{1+\text{i}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\text{i}$。

2. 合并整体提取虚部：将两部分相加，把所有带有虚数单位 $\text{i}$ 的实数系数提取合拢。

3. 根据实数定义解方程：复数为实数的充要条件是虚部严格等于 0，列方程求解 $a$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：设整个复数代数式为 $z=\frac{a}{1+\text{i}}+\frac{1+\text{i}}{2}$。 首先对第一项分式进行分母实数化（分子分母同乘以共轭复数 $1-\text{i}$）： $\frac{a}{1+\text{i}}=\frac{a(1-\text{i})}{(1+\text{i})(1-\text{i})}=\frac{a-a\text{i}}{1^2-{\text{i}}^2}=\frac{a-a\text{i}}{2}=\frac{a}{2}-\frac{a}{2}\text{i}$

将化简后的两部分合并： $z=\left(\frac{a}{2}-\frac{a}{2}\text{i}\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\text{i}\right)$ 将实部与虚部各自因式合拢，化为标准形式 $A+B\text{i}$ ($A,B\in \mathbf{R}$)： $z=\left(\frac{a+1}{2}\right)+\left(\frac{1-a}{2}\right)\text{i}$

因为题目已知该复数 $z$ 是一个纯粹的实数， 根据复数的数理概念，其实数充要条件为虚部必须严格等于 0： $\frac{1-a}{2}=0⟹1-a=0⟹a=1$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数除法分母乘共轭实数化、复数为实数对应的方程模型（虚部 $\text{Im}(z)=0$）。
2. 核心方法：复数标准型化简法。
3. 避坑指南：

• 注意不要在展开分母时算错符号。 $(1+\text{i})(1-\text{i})=1-{\text{i}}^2=1-(-1)=2$。考场上避免在分母最基础的整数运算上翻车。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数的代数四则运算、复数的概念（实数条件）是全国大纲卷I(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是复数的代数四则运算、复数的概念（实数条件）的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用分母实数化法、虚部为零代数方程法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2013-江西卷理-01 单-集合交集