2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义

本题导读

本题考查复数，以及复数的代数表示及其几何意义。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(理)） 设 $i$ 是虚数单位，$\bar{z}$ 是复数 $z$ 的共轭复数，若 $z\cdot \bar{z}i+2=2z$，则 $z=$()

A. $1+i$　　　　B. $1-i$　　　　C. $-1+i$　　　　D. $-1-i$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设代数形式：设 $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$)，则共轭复数 $\bar{z}=a-bi$。
2. 利用模的性质：利用复数与其共轭复数乘积的性质，$z\cdot \bar{z}=a^2+b^2$（即模的平方），这是一个实数。
3. 转化方程：将 $z$ 代入已知等式中，展开并整理成 $A+Bi=C+Di$ 的形式。
4. 对应相等：利用复数相等的充要条件（实部等于实部，虚部等于虚部），建立关于 $a,b$ 的方程组并求解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：代入设定的复数形式 设 $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$)，则其共轭复数 $\bar{z}=a-bi$。 根据复数运算性质： $z\cdot \bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$

第二步：展开等式 将上述结果代入已知等式 $z\cdot \bar{z}i+2=2z$： $(a^2+b^2)i+2=2(a+bi)$ 整理左、右两边： $2+(a^2+b^2)i=2a+2bi$

第三步：建立实数方程组 根据复数相等的充要条件，对应实部与虚部相等： $\{\begin{array}{l}2=2a\\ a^2+b^2=2b\end{array}$

由第一个方程解得：$a=1$。 将 $a=1$ 代入第二个方程： $1^2+b^2=2b⟹b^2-2b+1=0⟹(b-1{)}^2=0$ 解得：$b=1$。

第四步：得出结论 所以 $z=1+i$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数相等的定义。这是处理未知复数等式最通用的方法。

核心方法：“待定系数法”。设 $z=a+bi$ 是复数题目中的万能起始步。

避坑指南：注意 $z\cdot \bar{z}$ 是实数（等于 $|z{|}^2$），不要误算成带有 $i$ 的项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数的模、复数的几何表示（阿甘图/复平面）。

结论推广：复数 $z$ 满足 $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$。

方法推广：面对包含 $z$ 和 $\bar{z}$ 的混合方程，代数化为实数方程组是基本策略。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

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• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

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