2007-大纲卷I理-12 单-三角函数单调增区间

本题导读

本题考查三角函数的单调区间求解。核心在于首先通过二倍角公式和余弦降幂公式对了解析式进行项数降幂合并，化简为标准的单弦波形，再利用整体代换法求解单调递增区间。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(理)） 函数 $f(x)={\cos }^{2}x-2{\cos }^2\frac{x}{2}$ 的一个单调增区间是()

A. $\left(\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}\right)$　　B. $\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right)$　　C. $\left(0,\frac{\pi }{3}\right)$　　D. $\left(-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}\right)$

🔍【思路分析】

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1. 统一自变量角（降幂化简）：

• 第二项包含半角 $\frac{x}{2}$，利用余弦倍角公式 $2{\cos }^2\frac{x}{2}=1+\cos x$ 将其统一为单角 $x$。
• 原式化为 $f(x)={\cos }^{2}x-\cos x-1$。

2. 分析单调性（复合函数法）：

• 令 $t=\cos x$。原式化为二次函数 $g(t)=t^2-t-1$，其对称轴为 $t=\frac{1}{2}$，当 $t>\frac{1}{2}$ 时单调递增，当 $t<\frac{1}{2}$ 时单调递减。

• 这种二次复合方法需要分段讨论较为复杂， 我们也可以尝试利用导数直接求导判定： $f^{\prime }(x)=2\cos x(-\sin x)-(-\sin x)=\sin x(1-2\cos x)$。

• 令 $f^{\prime }(x)>0$， 在一主周期 $[0,\pi ]$ 或 $[-\pi ,\pi ]$ 寻找正负区间，确定递增范围并与选项比对。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：首先， 我们利用三角函数的二倍角公式对函数解析式进行降幂与角对齐化简： 根据余弦二倍角公式， 恒有 $2{\cos }^2\frac{x}{2}=1+\cos x$。 代入原函数中： $f(x)={\cos }^{2}x-(1+\cos x)={\cos }^{2}x-\cos x-1$

对化简后的函数进行求导， 利用导数正负符号直接判定函数的单调增区间： $f^{\prime }(x)=2\cos x\cdot (\cos x{)}^{\prime }-(\cos x{)}^{\prime }-0$ $f^{\prime }(x)=2\cos x\cdot (-\sin x)-(-\sin x)=-2\sin x\cos x+\sin x$ 提取公因式 $\sin x$： $f^{\prime }(x)=\sin x(1-2\cos x)$

要想让函数 $f(x)$ 严格单调递增， 对应的导函数必须满足大前提： $f^{\prime }(x)>0⟹\sin x(1-2\cos x)>0$

下面我们在基本的正半轴一主周期 $x\in (0,\pi )$ 范围内讨论此不等式的解集（此时 $\sin x>0$ 恒成立）： 由于 $\sin x>0$， 不等式两边同除以 $\sin x$， 方向保持不变： $1-2\cos x>0⟹2\cos x<1⟹\cos x<\frac{1}{2}$

在区间 $(0,\pi )$ 内， 满足 $\cos x<\frac{1}{2}$ 的角度区域为： $\frac{\pi }{3}<x<\pi$ 也就是说， $\left(\frac{\pi }{3},\pi \right)$ 是原函数的一个合法的单调递增区间。

观察给出的四个选项， 只有 A 选项 $\left(\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}\right)$ 是该递增区间 $\left(\frac{\pi }{3},\pi \right)$ 的一个严格真子集。 根据单调区间的包容性原理， 函数在真子集区间上必然也保持单调递增。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：半角向单角转换的倍角降幂公式、利用导数性质 $f^{\prime }(x)>0$ 判定复合三角函数单调区间、区间子集包含关系的对位。
2. 核心方法：导数符号判定法。
3. 避坑指南：

• 很多同学利用二次函数复合来做， 设 $t=\cos x$。 容易在“ $t$ 单调减 且 $g(t)$ 单调减 $⟹$ 整体单调增”的双重否定表升降的逻辑中把符号搞绕。 强推利用导数直接求导法， 导数大于 0 就是增， 没有任何弯弯绕绕， 考场准确率最高。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二倍角公式与降幂公式、辅助角公式是全国大纲卷I(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是二倍角公式与降幂公式、辅助角公式的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用恒等变形化简法、复合函数单调性同向法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-10 单-线面垂直
• 2013-浙江卷理-06 单-二倍角公式
• 2016-山东卷理-07 单-三角恒等