2013-浙江卷理-10 单-线面垂直

本题导读

本题考查直线与平面，以及直线与平面垂直的性质。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(理)） 10. 在空间中，过点 $A$ 作平面 $\pi$ 的垂线，垂足为 $B$，记 $B=f_{\pi }(A)$.设 $\alpha ,\beta$ 是两个不同的平面，对空间任意一点 $P$，$Q_1=f_{\beta }[f_{\alpha }(P)]$，$Q_2=f_{\alpha }[f_{\beta }(P)]$，恒有 $P{Q}_1=P{Q}_2$，则 $($\quad\quad$)$

A. 平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 垂直　　B. 平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 所成的（锐）二面角为 $45^{\circ }$

C. 平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 平行　　D. 平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 所成的（锐）二面角为 $60^{\circ }$

🔍【思路分析】

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1. 理解运算含义：$f_{\pi }(P)$ 代表点 $P$ 在平面 $\pi$ 上的正投影。$Q_1$ 是先投到 $\alpha$ 再投到 $\beta$ 的点；$Q_2$ 是先投到 $\beta$ 再投到 $\alpha$ 的点。
2. 特殊化处理：选取点 $P$ 位于两个平面的交线上（如果交线存在）。此时 $P$ 到两平面的投影都是其自身，可知成立。为获得有效结论，应选取 $P$ 不在平面上。
3. 坐标法解析：建立空间直角坐标系，设 $\alpha$ 为 $xOy$ 平面，$\beta$ 与其成角度 $\theta$。计算 $Q_1,Q_2$ 的坐标，利用距离公式 $P{Q}_1^2=P{Q}_2^2$ 建立关于 $\theta$ 的方程。
4. 几何模型分析：构造四边形 $P{P}_1{Q}_1{P}_2$（其中 $P_1,P_2$ 分别为 $P$ 在两平面上的投影）。若 $P{Q}_1=P{Q}_2$，则意味着投影顺序不影响最终点到原点的位移分量关系，通常指向垂直关系。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract


第一步：几何构造与投影点分析 设 $P_1=f_{\alpha }(P)$，则 $P{P}_1\perp \alpha$，且 $Q_1=f_{\beta }(P_1)$，即 $P_1{Q}_1\perp \beta$。 设 $P_2=f_{\beta }(P)$，则 $P{P}_2\perp \beta$，且 $Q_2=f_{\alpha }(P_2)$，即 $P_2{Q}_2\perp \alpha$。

第二步：利用勾股定理转化距离 在 $Rt△P{P}_1{Q}_1$ 中，$P{Q}_1^2=P{P}_1^2+P_1{Q}_1^2$。 在 $Rt△P{P}_2{Q}_2$ 中，$P{Q}_2^2=P{P}_2^2+P_2{Q}_2^2$。 已知 $P{Q}_1=P{Q}_2$，故 $P{P}_1^2+P_1{Q}_1^2=P{P}_2^2+P_2{Q}_2^2$。

第三步：坐标法定量计算 建立坐标系，设平面 $\alpha$ 的方程为 $z=0$，其法向量 $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(0,0,1)$。 设平面 $\beta$ 的法向量 $\overrightarrow{n_{\beta }}=(\sin \theta ,0,\cos \theta )$，其中 $\theta$ 为两平面所成的二面角。 设 $P(x,y,z)$。

1. $P$ 在 $\alpha$ 上的投影 $P_1(x,y,0)$。$P{P}_1^2=z^2$。
2. $P_1$ 在 $\beta$ 上的投影 $Q_1$。点到平面投影的位移矢量为 $\overrightarrow{P_1{Q}_1}=-\frac{\overrightarrow{P_{1}X}\cdot \overrightarrow{n_{\beta }}}{|\overrightarrow{n_{\beta }}{|}^2}\overrightarrow{n_{\beta }}$。 计算得 $P_1{Q}_1^2=(x\sin \theta +0\cos \theta {)}^2=x^2{\sin }^2\theta$（简化处理，设 $\beta$ 过原点）。
3. 同理，$P{P}_2^2=(x\sin \theta +z\cos \theta {)}^2$。
4. $Q_2$ 是 $P_2$ 在 $z=0$ 上的投影，$P_2{Q}_2^2$ 为 $P_2$ 的 $z$ 坐标平方。

第四步：推导垂直关系 要使对于“任意一点 $P$”恒有该等式成立，代数展开后发现，只有当 $\cos \theta =0$ 时，各项系数才能抵消。 从几何直观上看，四边形 $P{P}_1{Q}_1{P}_2$ 为矩形是满足条件的充分情形。 当 $\alpha \perp \beta$ 时： $P_1{Q}_1$ 位于平面 $\alpha$ 内且垂直于交线，$P_2{Q}_2$ 位于平面 $\beta$ 内且垂直于交线。 此时 $△P{P}_1{Q}_1$ 与 $△P{P}_2{Q}_2$ 全等，必有 $P{Q}_1=P{Q}_2$。 若 $\alpha$ 与 $\beta$ 不垂直，则投影过程会产生比例缩放 $\cos \theta$，无法保证对空间任意点的距离恒等。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：点到平面的投影性质；二面角的概念；空间向量的运算。

核心方法：特殊值/特殊位置法。例如，取 $P$ 点使得 $P{P}_1$ 垂直于交线，此时问题简化为平面几何中直角三角形的性质。

避坑指南：不要被复杂的符号 $f_{\beta }[f_{\alpha }(P)]$ 吓到，将其还原为几何作图过程（垂线之垂线）即可发现其中的垂直逻辑。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间向量的投影公式、三垂线定理。

结论推广：若两个投影算子可交换，即 $f_{\beta }\circ f_{\alpha }=f_{\alpha }\circ f_{\beta }$，则两个平面必须垂直或平行。本题通过距离恒等进一步强化了这一结论。

方法推广：面对抽象的“恒成立”空间几何题，建立坐标系进行代数化运算是最稳妥的万能钥匙。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2015-浙江卷文-18 解-线面垂直角
• 2013-湖南卷文-17 解-线面垂直体积
• 2015-山东卷文-18 解-线面平行与垂直