2007-大纲卷I理-15 填-等差数列判定

本题导读

本题考查等比数列前 $n$ 项和与等差中项性质的综合。核心在于将前 $n$ 项和通过基本量（首项 $a_1$ 与公比 $q$）或项展开递推表达，利用等差中项的代数等式建立方程求出公比。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(理)） 等比数例 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$，已知 $S_1,2S_2,3S_3$ 成等差数列，则 $\{a_n\}$ 的公比为________。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用等差中项列方程：已知三项成等差数列，根据等差中项性质满足： $2\times (2S_2)=S_1+3S_3⟹4S_2=S_1+3S_3$。
2. 用项展开式代换前 $n$ 项和：

• $S_1=a_1$
• $S_2=a_1+a_2=a_1+a_{1}q=a_1(1+q)$
• $S_3=a_1+a_2+a_3=a_1+a_{1}q+a_1{q}^2=a_1(1+q+q^2)$

3. 两边同约首项解方程：代入方程后， 两边通除以不为零的首项 $a_1$， 转化为关于公比 $q$ 的一元二次方程求根。

✅【答案】

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$\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解：因为 $S_1,2S_2,3S_3$ 顺次构成等差数列， 根据等差数列的核心性质（两端项之和等于中间项的两倍），建立代数方程： $2\times (2S_2)=S_1+3S_3⟹4S_2=S_1+3S_3\text{(1)}$

设该等比数列的首项为 $a_1$，公比为 $q$。 我们将前 $n$ 项和 $S_1,S_2,S_3$ 用首项与公比的展开式表示： $S_1=a_1$ $S_2=a_1+a_{1}q$ $S_3=a_1+a_{1}q+a_1{q}^2$

将上述项的表达式代入核心方程①式中： $4(a_1+a_{1}q)=a_1+3(a_1+a_{1}q+a_1{q}^2)$ 利用乘法分配律将括号完全展开： $4a_1+4a_{1}q=a_1+3a_1+3a_{1}q+3a_1{q}^2$ 合并右侧常数项： $4a_1+4a_{1}q=4a_1+3a_{1}q+3a_1{q}^2$

由于等比数列的首项 $a_1\ne 0$，我们方程两边同时约去不为零的公因式 $a_1$： $4+4q=4+3q+3q^2$ 两边同时减去 4 并移项合并同类项，归拢为一元二次方程的标准型： $3q^2-q=0$ 因式分解提取公因式 $q$： $q(3q-1)=0$

解得： $q=0\text{或}q=\frac{1}{3}$ 根据等比数列的数理定义，等比数列的公比 $q$ 作为几何递推的因子，绝对不能等于 0（若 $q=0$，从第二项起全为 0， 导致后续无法再乘公比， 违背定义）。 因此，舍去 $q=0$。

所以，该等比数列的公比为 $\frac{1}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差中项方程模型、等比前 $n$ 项和的小因式展开（用 $S_n=a_1(1+q+\cdots +q^{n-1})$ 比直接带入求和公式 $\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ 更不易算错且无需讨论 $q=1$）、公比非零红线。
2. 核心方法：小项展开消元法。
3. 避坑指南：

• 容易错漏掉公比 $q\ne 0$ 的刚性约束。如果最后解出 $q(3q-1)=0$ 就顺手把两个答案 0 或 $1/3$ 全写上去，属于概念不清， 直接判定为 0 分。 任何等比数列的公比必须满足 $q\ne 0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列的前n项和公式、等差数列的判定（等差中项性质）是全国大纲卷I(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是等比数列的前n项和公式、等差数列的判定（等差中项性质）的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用公式消元代入法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-15 填-等差数列待定系数
• 2013-重庆卷理-12 填-等差数列通项与求和公式
• 2014-安徽卷理-12 填-等差数列通项