本题导读
本题考查等差数列与等比数列定义的综合应用。通过设定等差数列的首项和公差，结合已知的三项构成等比数列建立方程，考查代数式的变形能力和对数列性质的深刻理解。
📌【题干】
Question
（2014年安徽卷(理)） 数列 是等差数列，若 构成公比为 的等比数列，则 .
🔍【思路分析】
破题导航
- 设基本量：设等差数列 的首项为 ，公差为 。
- 表示各项：根据等差数列通项公式，，。
- 建立方程：利用等比中项的性质，即 。
- 化简求值：观察代数式特征，利用换元法简化运算，求出公比 。
✅【答案】
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1
✍【详细解析】
Abstract
第一步：代入等差数列基本量 设数列 的公差为 。 则等比数列的三项分别为：
- 第一项：
- 第二项：
- 第三项：
第二步：利用等比中项建立方程 根据题意有：
第三步：巧用换元法化简 为了简化计算，观察到三项的常数项和 的系数成比例关系。 令 。 则三项可表示为：
- 第一项：
- 第二项：
- 第三项：
代入等比中项方程： 展开得： 消项后得：
第四步：确定公比 因为 ，所以 。 此时等比数列的三项分别为 （均为常数项）。 公比 。 （注：若 ，即 ，则数列为 ，公比通常定义为 或根据题意判定，此处由方程推导可知 恒成立）。
故答案为 1
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：等差数列与等比数列定义的综合应用。
核心方法：设基本量，用等比中项建立方程，换元化简求公比。
避坑指南：注意审题与运算细节。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源: 等比中项性质与等差基本量。
结论推广: 等差三项加常数后成等比，换元可简化运算。
方法推广: 数列交叉定义题统一用基本量+方程求解。
🔗【关联脉络】
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