2007-大纲卷II文-17 解-等比数列通项与分类讨论

本题导读

本题考查等比数列的通项。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(文)） 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比 $q<1$，前 $n$ 项和为 $S_n$，已知 $a_3=2$，$S_4=5S_2$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式．

🔍【思路分析】

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1. $S_4=a_1(1+q+q^2+q^3)$，$S_2=a_1(1+q)$；约去 $a_1\ne 0$ 后因式分解。
2. $(1+q)(q^2-4)=0$：$q=-1$、$q=2$、$q=-2$ 三解。
3. 按 $q<1$ 舍 $q=2$；再由 $a_3=a_1{q}^2=2$ 定 $a_1$。

✅【答案】

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$a_n=2(-1{)}^{n-1}$ 或 $a_n=\frac{1}{2}(-2{)}^{n-1}$

✍【详细解析】

Abstract

设首项为 $a_1$．由 $a_3=a_1{q}^2=2$ 知 $q\ne 0$，且 $a_1=\frac{2}{q^2}\ne 0$． 由 $S_4=5S_2$： $a_1(1+q+q^2+q^3)=5a_1(1+q).$ 约去非零的 $a_1$ 并因式分解： $(1+q)(1+q^2)=5(1+q)⟹(1+q)(q^2-4)=0.$ 所以 $q=-1$，或 $q=2$，或 $q=-2$．结合题设 $q<1$，舍去 $q=2$，得 $q=-1$ 或 $q=-2$．

• 当 $q=-1$ 时，$a_1=\frac{2}{q^2}=2$，故 $a_n=2(-1{)}^{n-1}$；
• 当 $q=-2$ 时，$a_1=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，故 $a_n=\frac{1}{2}(-2{)}^{n-1}$． 综上，通项公式为 $a_n=2(-1{)}^{n-1}$ 或 $a_n=\frac{1}{2}(-2{)}^{n-1}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列通项与分类讨论

核心方法：Sn 与 an 关系列方程，因式分解定 q，按 q 分类

避坑指南：q^2=4 得 q=±2，结合 q<1 还要 q=-1，勿漏 q=-1 这一解

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列求和与通项

结论推广：(1+q)(q^2-4)=0 的多解要逐一检验 q<1

方法推广：约去公因子前先确认其非零

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练(Links)

• 2008-大纲卷II文-18 解-等差等比综合求和
• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比