2007-大纲卷II理-03 单-共轭复数复数相等充要条件

本题导读

本题考查复数的代数方程求解与除法运算。通过代数变形将未知复数 $z$ 孤立到等式一侧，再利用分母实数化方法完成化简。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(理)） 设复数 $z$ 满足 $\frac{1+2\text{i}}{z}=\text{i}$，则 $z=$ ()

A. $-2+\text{i}$　　　　B. $-2-\text{i}$　　　　C. $2-\text{i}$　　　　D. $2+\text{i}$

🔍【思路分析】

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1. 分离未知数 $z$：两边同乘以 $z$，再同除以虚数单位 $\text{i}$，得 $z=\frac{1+2\text{i}}{\text{i}}$。

2. 执行复数除法运算：分子、分母同时乘以 $-\text{i}$，或者直接将分子分式拆开利用 $\frac{1}{\text{i}}=-\text{i}$ 进行代数化简。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：由已知复数方程 $\frac{1+2\text{i}}{z}=\text{i}$，两边同时乘以 $z$ 变形得： $1+2\text{i}=\text{i}\cdot z$

为了孤立出未知复数 $z$，等式两边同时除以虚数单位 $\text{i}$： $z=\frac{1+2\text{i}}{\text{i}}$

利用复数除法规则，分子与分母同时乘以分母的共轭复数 $-\text{i}$（或者是直接同乘 $\text{i}$）： $z=\frac{(1+2\text{i})\cdot (-\text{i})}{\text{i}\cdot (-\text{i})}=\frac{-\text{i}-2{\text{i}}^2}{1}$ 由于 ${\text{i}}^2=-1$， 代入上式分母与分子中： $z=-\text{i}-2(-1)=2-\text{i}$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：虚数单位平方项基本性质 ${\text{i}}^2=-1$、复数除法的有理化。
2. 核心方法：直接代数隔离法。
3. 避坑指南：

• 也可以直接拆分分式： $z=\frac{1}{\text{i}}+\frac{2\text{i}}{\text{i}}=-\text{i}+2=2-\text{i}$。利用常识结论 $\frac{1}{\text{i}}=-\text{i}$ 可以实现一步口算，避免因分子分母大面积乘法展开而引发的符号计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数的代数形式四则运算、共轭复数与复数相等的充要条件是大纲卷II(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是复数的代数形式四则运算、共轭复数与复数相等的充要条件的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用方程变形孤立变量法、分母实数化法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2013-江西卷理-01 单-集合交集