2007-大纲卷II理-09 单-向量平移代数规律

本题导读

本题考查函数图像按向量平移的代数法则。依据“左加右减，上加下减”的平移规律，对自变量与因变量直接进行代数替换。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(理)） 把函数 $y={\text{e}}^x$ 的图像按向量 $\mathbf{a}=(2,3)$ 平移，得到 $y=f(x)$ 的图像，则 $f(x)=$ ()

A. ${\text{e}}^{x-3}+2$　　　B. ${\text{e}}^{x+3}-2$　　　C. ${\text{e}}^{x-2}+3$　　　D. ${\text{e}}^{x+2}-3$

🔍【思路分析】

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1. 解析平移向量：向量 $\mathbf{a}=(2,3)⟹$ 图像向 $x$ 轴正方向平移 2 个单位，向 $y$ 轴正方向平移 3 个单位（即向右平移 2，向上平移 3）。
2. 应用变换规律：

• 向右平移 2 个单位：自变量 $x$ 替换为 $x-2$。

• 向上平移 3 个单位：因变量 $y$ 替换为 $y-3$（或在整体右侧直接加 3）。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：根据函数图像平移变换的代数规律，把函数图像按向量 $\mathbf{a}=(h,k)$ 平移，等价于将原函数方程中的 $x$ 替换为 $x-h$，同时将 $y$ 替换为 $y-k$。

已知平移向量为 $\mathbf{a}=(2,3)$，即 $h=2,k=3$。 将 $x\to x-2,y\to y-3$ 代入原函数方程 $y={\text{e}}^x$ 中： $y-3={\text{e}}^{x-2}$ 移项孤立因变量 $y$，得： $y={\text{e}}^{x-2}+3$ 即： $f(x)={\text{e}}^{x-2}+3$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：解析几何中经典的“左加右减，上加下减”平移法则。
2. 核心方法：变量替换法。
3. 避坑指南：

• 容易在正负号变换上混淆。记住向 $x$ 轴正方向平移（右移）是减去相应常数，不要错选成 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：图像的平移变换、向量平移的代数规律是大纲卷II(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是图像的平移变换、向量平移的代数规律的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用左加右减，上加下减规律，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-四川卷理-04 单-圆
• 2008-辽宁卷文-08 单-图象按向量平移
• 2014-辽宁卷理-09 单-平移变换