2008-四川卷理-04 单-圆

本题导读

本题考查直线垂直的斜率关系、图像的平移变换。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(理)） 直线 $y=3x$ 绕原点逆时针旋转 $90^{\circ }$, 再向右平移 1 个单位, 所得到的直线为 ()

A. $y=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$　　　　　　　　　　　　　　B. $y=-\frac{1}{3}x+1$

C. $y=3x-3$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $y=\frac{1}{3}x+1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先求解原直线绕原点逆时针旋转 $90^{\circ }$ 后的直线方程。利用两垂直直线斜率之积为 $-1$ 确定新斜率。
2. 依据图像平移的“左加右减”规律，将平移变换作用于自变量 $x$ 从而得到最终方程。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

直线 $y=3x$ 绕原点逆时针旋转 $90^{\circ }$ 后所得直线与原直线垂直且仍过原点， 所以其斜率为 $k=-\frac{1}{3}$，对应的直线方程为 $y=-\frac{1}{3}x$。 再将该直线向右平移 1 个单位，用 $x-1$ 代替方程中的 $x$，得： $y=-\frac{1}{3}(x-1)=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两条直线垂直的斜率充要条件；函数图象的几何变换。
2. 核心方法：公式法（“左加右减，上加下减”）。
3. 避坑指南：向右平移时是对自变量 $x$ 进行减法，即用 $(x-1)$ 整体替换，注意括号不可漏掉，不要误加在整个函数后面。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题具有高等数学中解析几何矩阵旋转变换的背景，在高考中常以初等平移与垂直关系的形式呈现。
2. 结论推广：任意直线 $Ax+By+C=0$ 绕点 $(x_0,y_0)$ 逆时针旋转 $90^{\circ }$ 后的直线方程为 $B(x-x_0)-A(y-y_0)=0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

A

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-07 单-两直线垂直
• 2011-浙江卷文-12 填-直线垂直求参
• 2014-天津卷理-17 解-空间中直线与直线垂直判定