2008-辽宁卷文-08 单-图象按向量平移

本题导读

$y=2^{x+1}=2^{(x+1)}$，由 $y=2^x+1$ 先下移 $1$ 得 $y=2^x$，再左移 $1$ 得 $y=2^{x+1}$，故 $\mathbf{a}=(-1,-1)$.

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(文)） 将函数 $y=2^x+1$ 的图象按向量 $\mathbf{a}$ 平移得到函数 $y=2^{x+1}$ 的图象，则()

A. $\mathbf{a}=(-1,-1)$　　B. $\mathbf{a}=(1,-1)$　　C. $\mathbf{a}=(1,1)$　　D. $\mathbf{a}=(-1,1)$ 【注】原卷此处在 $2^{x+1}$ 的上标位置有清晰指数（文本提取时上标丢失，易误读为 $2x+1$），本篇按原卷影像核定录入为 $y=2^{x+1}$．

🔍【思路分析】

破题导航

按向量 $(h,k)$ 平移即”右移 $h$、上移 $k$”（$h$、$k$ 可负）；把 $y=2^{x+1}$ 拆成 $y=2^x+1$ 经过怎样的平移得到，反向读出向量.

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

函数图象按向量 $\mathbf{a}=(h,k)$ 平移，是把图象上每一点 $(x,y)$ 移到 $(x+h,y+k)$，对应解析式变换 $y-k=f(x-h)$． 对 $y=2^x+1$，要得到 $y=2^{x+1}$：先向下平移 $1$ 个单位得 $y=2^x$，再向左平移 $1$ 个单位得 $y=2^{x+1}$．合起来是向左 $1$、向下 $1$，即平移向量 $\mathbf{a}=(-1,-1)$．故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数图象的向量平移

核心方法：按向量 $(h,k)$ 平移即”右移 $h$、上移 $k$“，反向读出平移向量

避坑指南：$y=2^{x+1}$ 的上标 $x+1$ 是左移 $1$ 个单位，不是右移；由 $2^x+1$ 到 $2^{x+1}$ 需先下移 $1$ 再左移 $1$，向量分量 $(-1,-1)$ 两个都取负，别只记一个

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材函数图象变换，平移的向量表述

结论推广：$y=f(x)$ 按 $\mathbf{a}=(h,k)$ 平移得 $y-k=f(x-h)$；指数函数平移 $2^x\to 2^{x+1}$ 即左移 $1$

方法推广：口诀”左加右减、上加下减”要落实到解析式变换方向；平移向量 $(h,k)$ 的符号与图象移动方向相反

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-11 单-三角函数平移
• 2013-新课标II卷文-16 填-三角函数图象平移