2007-大纲卷II理-17 解-三角函数图象性质

本题导读

本题考查正弦定理与三角恒等变换在解三角形中的综合应用。第一问通过正弦定理将周长 $y$ 转化为内角 $x$ 的三角函数表达式，并结合三角形内角性质确定定义域；第二问利用两角和公式与单弦化简求其最大值。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(理)） 在 $△ABC$ 中，已知内角 $A=\frac{\pi }{3}$，边 $BC=2\sqrt{3}$，设内角 $B=x$，周长为 $y$.

(1) 求函数 $y=f(x)$ 的解析式和定义域；

(2) 求 $y$ 的最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：

• 由内角和定理， $C=\pi -A-B=\pi -\frac{\pi }{3}-x=\frac{2\pi }{3}-x$。
• 利用正弦定理： $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$。
• 已知 $a=2\sqrt{3},\sin A=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出外接圆直径 $2R=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$。
• 将边 $b,c$ 分别表示为 $b=4\sin x,c=4\sin \left(\frac{2\pi }{3}-x\right)$。
• 周长 $y=a+b+c=2\sqrt{3}+4\sin x+4\sin \left(\frac{2\pi }{3}-x\right)$，展开并合拢。
• 定义域由 $x>0$ 且 $\frac{2\pi }{3}-x>0$ 确定。

2. 第二问：

• 根据单弦化简后的表达式 $y=2\sqrt{3}+4\sqrt{3}\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$。

• 根据 $x$ 的定义域范围确定复合角的取值区间，从而获取正弦波顶点的最大值。

✅【答案】

点击查看答案

𝑦=2√3+4sin𝑥+4sin(2π3−𝑥)，0<𝑥<2π3；最大值为6√3.

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）在 $△ABC$ 中，已知 $A=\frac{\pi }{3},B=x$。 根据三角形内角和定理，内角 $C$ 可表示为： $C=\pi -A-B=\pi -\frac{\pi }{3}-x=\frac{2\pi }{3}-x$

根据正弦定理，有： $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$ 代入已知数据 $BC=2\sqrt{3},\sin A=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$： $\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$ 由此可得其余两边的长分别为： $b=AC=4\sin x$ $c=AB=4\sin C=4\sin \left(\frac{2\pi }{3}-x\right)$

周长 $y$ 为三边之和，建立函数关系式： $y=BC+AC+AB=2\sqrt{3}+4\sin x+4\sin \left(\frac{2\pi }{3}-x\right)$ 利用两角和的正弦公式展开最后一项： $\sin \left(\frac{2\pi }{3}-x\right)=\sin \frac{2\pi }{3}\cos x-\cos \frac{2\pi }{3}\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\left(-\frac{1}{2}\right)\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x$ 代回周长解析式中： $y=2\sqrt{3}+4\sin x+4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x\right)$ $y=2\sqrt{3}+4\sin x+2\sqrt{3}\cos x+2\sin x=2\sqrt{3}+6\sin x+2\sqrt{3}\cos x$ 利用辅助角公式进行逆向化简，提取公因式 $4\sqrt{3}$： $y=2\sqrt{3}+4\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x\right)=2\sqrt{3}+4\sqrt{3}\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$

为了保证三角形结构合法，所有内角必须严格大于 0，建立不等式组： $\{\begin{array}{l}x>0\\ \frac{2\pi }{3}-x>0\end{array}⟹0<x<\frac{2\pi }{3}$

所以，函数解析式为 $y=2\sqrt{3}+4\sqrt{3}\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$，定义域为 $\left(0,\frac{2\pi }{3}\right)$。

（2）由（1）知 $0<x<\frac{2\pi }{3}$，不等式各项同时加上辅角 $\frac{\pi }{6}$，确定复合角取值范围： $\frac{\pi }{6}<x+\frac{\pi }{6}<\frac{2\pi }{3}+\frac{\pi }{6}⟹\frac{\pi }{6}<x+\frac{\pi }{6}<\frac{5\pi }{6}$

根据正弦函数的图象与性质，当复合角 $x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$ 时，正弦值取得最大值： $\sin {\left(x+\frac{\pi }{6}\right)}_{\text{max}}=\sin \frac{\pi }{2}=1$ 由于 $\frac{\pi }{2}\in \left(\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right)$，对应的自变量 $x=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$ 属于定义域。

代入计算周长的最大值： $y_{\text{max}}=2\sqrt{3}+4\sqrt{3}\times 1=6\sqrt{3}$

所以， $y$ 的最大值为 $6\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理求外接圆直径（ $2R=a/\sin A$）、三角恒等变换公式、正弦型函数最值。
2. 核心方法：整体代换法。
3. 避坑指南：

• 第一问求解解析式后，绝不能漏掉求定义域， 必须由内角非负硬性限制卡出 $0<x<\frac{2\pi }{3}$。
• 第二问需验证取得最值时的角 $\frac{\pi }{2}$ 是否落在复合角区间内，确保最值在区间内部的顶点处切出。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查正弦定理、两角和与差的正弦公式，是大纲卷II(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（边角转换法、辅助角公式化简法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：正弦定理、两角和与差的正弦公式相互关联，解答中综合运用了边角转换法、辅助角公式化简法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I理-17 解-解三角形
• 2009-福建卷理-18 解-解三角形
• 2012-江西卷理-18 解-两角和