2009-福建卷理-18 解-解三角形

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质、正弦定理与余弦定理的应用。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(理)） 如图，某市拟在长为 $8\text{ km}$ 的道路 $OP$ 的一侧修建一条运动赛道. 赛道的前一部分为曲线段 $OSM$, 该曲线段为函数 $y=A\sin \omega x$ ($A>0,\omega >0$), $x\in [0,4]$ 的图象, 且图象的最高点为 $S(3,2\sqrt{3})$；赛道的后一部分为折线段 $MNP$. 为保证参赛运动员的安全, 限定 $\angle MNP=120^{\circ }$.

(1) 求 $A,\omega$ 的值和 $M,P$ 两点间的距离；

(2) 应如何设计，才能使折线段赛道 $MNP$ 最长？

🔍【思路分析】

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1. 第一问：根据最高点坐标确定振幅 $A$，利用四分之一周期确定 $\omega$。算出 $M$ 点坐标后，结合 $P(8,0)$ 利用两点间距离公式求出 $|MP|$。

2. 第二问：在 $△MNP$ 中，已知对边 $|MP|=5$ 和对角 $\angle MNP=120^{\circ }$，引入角变量 $\angle NMP=\alpha$，利用正弦定理将折线段总长 $|MN|+|NP|$ 表示为关于 $\alpha$ 的三角函数，运用辅助角公式求出最大值时的设计条件。

✅【答案】

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𝐴=2√3，𝜔=π6，𝑀𝑃=5；当∠𝑃𝑀𝑁=30∘（等价于𝑀𝑁=𝑁𝑃）时，折线段赛道𝑀𝑁𝑃最长.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 因为曲线段 $OSM$ 的最高点为 $S(3,2\sqrt{3})$，且 $A>0$， 所以 $A=2\sqrt{3}$。 又图象过原点，且 $S$ 为第一个最高点，则 $\frac{T}{4}=3⟹T=12$。 由 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 得 $\omega =\frac{2\pi }{12}=\frac{\pi }{6}$。 所以曲线段的函数解析式为 $y=2\sqrt{3}\sin \left(\frac{\pi }{6}x\right)$ ($x\in [0,4]$)。

当 $x=4$ 时，得到 $M$ 点的纵坐标为 $y=2\sqrt{3}\sin \left(\frac{4\pi }{6}\right)=2\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=3$， 故 $M$ 点坐标为 $(4,3)$。 因为道路 $OP$ 长为 $8\text{ km}$ 且在 $x$ 轴上，所以 $P$ 点坐标为 $(8,0)$。 由两点间距离公式得： $|MP|=\sqrt{(8-4{)}^2+(0-3{)}^2}=\sqrt{16+9}=5\text{ km}$。

(2) 解： 在 $△MNP$ 中，已知 $|MP|=5$， $\angle MNP=120^{\circ }$。 设 $\angle NMP=\alpha$，则 $\angle NPM=180^{\circ }-120^{\circ }-\alpha =60^{\circ }-\alpha$，其中 $\alpha \in (0^{\circ },60^{\circ })$。 由正弦定理 $\frac{|MN|}{\sin \angle NPM}=\frac{|NP|}{\sin \angle NMP}=\frac{|MP|}{\sin \angle MNP}$ 得： $\frac{|MN|}{\sin (60^{\circ }-\alpha )}=\frac{|NP|}{\sin \alpha }=\frac{5}{\sin 120^{\circ }}=\frac{10}{\sqrt{3}}$。 由此可得： $|MN|=\frac{10}{\sqrt{3}}\sin (60^{\circ }-\alpha )$， $|NP|=\frac{10}{\sqrt{3}}\sin \alpha$。 设折线段赛道 $MNP$ 的长度为 $L$，则： $L=|MN|+|NP|=\frac{10}{\sqrt{3}}\left[\sin (60^{\circ }-\alpha )+\sin \alpha \right]$ $=\frac{10}{\sqrt{3}}\left[\sin 60^{\circ }\cos \alpha -\cos 60^{\circ }\sin \alpha +\sin \alpha \right]$ $=\frac{10}{\sqrt{3}}\left[\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha +\frac{1}{2}\sin \alpha \right]$ $=\frac{10}{\sqrt{3}}\sin (\alpha +60^{\circ })$。 因为 $\alpha \in (0^{\circ },60^{\circ })$，所以 $\alpha +60^{\circ }\in (60^{\circ },120^{\circ })$。 当且仅当 $\alpha +60^{\circ }=90^{\circ }$ 即 $\alpha =30^{\circ }$ 时， $\sin (\alpha +60^{\circ })$ 取得最大值 1。 此时 $\angle NMP=\angle NPM=30^{\circ }$， $△MNP$ 为等腰三角形， $|MN|=|NP|=\frac{10}{\sqrt{3}}\sin 30^{\circ }=\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\text{ km}$。 答：当设计成满足 $|MN|=|NP|=\frac{5\sqrt{3}}{3}\text{ km}$ 的等腰三角形时，折线段赛道 $MNP$ 最长。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数图象参数 $A,\omega$ 的确定；正弦定理在几何量表示中的转换作用。

2. 核心方法：角参数法。通过引入内角 $\alpha$ 将多段折线问题统一为一元三角函数的最值模型。

3. 避坑指南：第(1)问中求 $\omega$ 时，需注意 $S$ 为最高点代表四分之一周期而非半周期；第(2)问展开和差化积或两角和公式时，极易在系数化简上失误，需严格保证提取公因式的准确性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中关于“三角函数在测量与工程规划中的应用”的综合应用问题，属于高考将实际生活场景数学化的经典试题。

2. 结论推广：在任意三角形中，若一边的长 $c$ 及其对角 $C$ 为定值，则当该三角形为以 $c$ 为底边的等腰三角形时，其余两边之和 $a+b$ 取得最大值，最大值为 $\frac{c}{\sin \frac{C}{2}}$。本题中 $C=120^{\circ },c=5$，最大值即为 $\frac{5}{\sin 60^{\circ }}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数