2007-天津卷文-06 单-空间位置关系命题

本题导读

本题考查空间线面位置关系，以及空间命题真假判断。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(文)） 设 $a$，$b$ 为两条直线，$\alpha$，$\beta$ 为两个平面．下列四个命题中，正确的命题是 ()

A. 若 $a$，$b$ 与 $\alpha$ 所成的角相等，则 $a\parallel b$　　　B. 若 $a\parallel \alpha$，$b\parallel \beta$，$\alpha \parallel \beta$，则 $a\parallel b$

C. 若 $a\subset \alpha$，$b\subset \beta$，$a\parallel b$，则 $\alpha \parallel \beta$　　　　　　　　　　D. 若 $a\perp \alpha$，$b\perp \beta$，$\alpha \perp \beta$，则 $a\perp b$

🔍【思路分析】

破题导航

1. A 反例：$a$、$b$ 可以是同一圆锥的两条母线。
2. B 反例：$a$、$b$ 可以平行于同一交线方向的任意直线。
3. C 反例：两平面相交时也可各含一条互相平行的直线。
4. D：$a$、$b$ 分别是 $\alpha$、$\beta$ 的法线，法线的夹角等于二面角（或其补角），$\alpha \perp \beta$ 时法线垂直。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

A 错：两条斜线与同一平面所成角相等时，它们的方向可以不同（如圆锥的两条母线），不一定平行． B 错：$\alpha \parallel \beta$ 时，分别与两平面平行的两条直线可以任意转动，未必平行（只需都与交线方向平行即可不平行于彼此）． C 错：$\alpha$、$\beta$ 相交时，交线的平行线可同时落在两个平面内，$a\parallel b$ 推不出 $\alpha \parallel \beta$． D 对：$a\perp \alpha$、$b\perp \beta$ 时，$a$、$b$ 分别是 $\alpha$、$\beta$ 的法向量方向；两个平面互相垂直时，其法线方向的夹角为 $90^{\circ }$，故 $a\perp b$． 故选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间位置关系命题

核心方法：逐项举反例或证明

避坑指南：A 的反例是圆锥两条母线；法线夹角与二面角相等或互补

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间点线面位置关系

结论推广：a⊥α、b⊥β 时 a 与 b 的夹角=α 与 β 的夹角

方法推广：命题判断题每个选项都要找反例或给证明

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练(Links)

• 2007-北京卷文-07 单-面面平行充分条件
• 2009-江苏卷-12 填-空间命题真假