2007-北京卷文-07 单-面面平行充分条件

本题导读

本题考查面面平行的判定，以及充分条件的判定。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(文)） 平面 $\alpha \parallel$ 平面 $\beta$ 的一个充分条件是 ()

A. 存在一条直线 $a$，$a\parallel \alpha$，$a\parallel \beta$

B. 存在一条直线 $a$，$a\subset \alpha$，$a\parallel \beta$

C. 存在两条平行直线 $a$，$b$，$a\subset \alpha$，$b\subset \beta$，$a\parallel \beta$，$b\parallel \alpha$

D. 存在两条异面直线 $a$，$b$，$a\subset \alpha$，$b\subset \beta$，$a\parallel \beta$，$b\parallel \alpha$

🔍【思路分析】

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1. 关键反例：当 $\alpha$、$\beta$ 相交于直线 $l$ 时，任何与 $l$ 平行的直线都同时平行于两个平面。
2. A、B、C 中的直线都可取为平行于 $l$ 的位置，均不充分。
3. D 用反证：若 $\alpha \cap \beta =l$，由线面平行性质 $a\parallel l$、$b\parallel l$，于是 $a\parallel b$，与异面矛盾。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

排除 A、B、C：设 $\alpha \cap \beta =l$（两平面相交）。在 $\alpha$、$\beta$ 内都可作出与 $l$ 平行的直线，它们分别满足”$a\parallel \alpha$ 且 $a\parallel \beta$“（A）、”$a\subset \alpha$，$a\parallel \beta$“（B）、”$a\parallel \beta$，$b\parallel \alpha$ 且 $a\parallel b$“（C），但此时 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交，故 A、B、C 都不能保证平行． 验证 D：反设 $\alpha \cap \beta =l$。由 $a\subset \alpha$，$a\parallel \beta$ 及线面平行的性质定理，$a\parallel l$；同理 $b\parallel l$。由平行公理得 $a\parallel b$，这与 $a$、$b$ 异面矛盾。故 $\alpha \parallel \beta$，D 是充分条件，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面面平行充分条件

核心方法：相交反例排除，反证验证

避坑指南：判断充分性要防”两平面相交”这一反例：平行于交线的直线同时平行两平面

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面平行的性质定理

结论推广：a⊂α、a∥β 且 α∩β=l 则 a∥l

方法推广：线面平行与面面关系的判定常配合反证法

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练(Links)

• 2009-福建卷文-10 单-面面平行充要条件
• 2009-浙江卷文-02 单-充分必要条件