2007-天津卷理-08 单-等比中项性质

本题导读

本题考查等差数列的通项公式与等比中项的概念。通过将等比中项的几何等式转化为关于项数 $k$ 和公差 $d$ 的代数方程，利用公差不为 0 的条件消元求解，考查基础的运算能力。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(理)） 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差 $d$ 不为 $0$，$a_1=9d$。若 $a_k$ 是 $a_1$ 与 $a_{2k}$ 的等比中项，则 $k=$ ()

A. 2　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. 6　　　　　　　D. 8

🔍【思路分析】

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1. 利用等差数列通项公式，将 $a_1,a_k,a_{2k}$ 全部用含有 $d$ 和 $k$ 的式子表示；
2. 根据等比中项满足的等量关系 $a_k^2=a_1\cdot a_{2k}$ 列出方程；
3. 约去非零常数 $d^2$，解关于 $k$ 的一元二次方程，结合 $k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 确定最终结果。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解： 因为 $\{a_n\}$ 是等差数列，公差为 $d$，$a_1=9d$， 所以： $a_k=a_1+(k-1)d=9d+(k-1)d=(k+8)d$ $a_{2k}=a_1+(2k-1)d=9d+(2k-1)d=(2k+8)d$ 又因为 $a_k$ 是 $a_1$ 与 $a_{2k}$ 的等比中项， 所以 $a_k^2=a_1\cdot a_{2k}$，即： $[(k+8)d{]}^2=9d\cdot [(2k+8)d]$ $(k+8{)}^2{d}^2=9(2k+8)d^2$ 由于公差 $d\ne 0$，两边同除以 $d^2$ 得： $(k+8{)}^2=9(2k+8)$ 展开并整理得： $k^2+16k+64=18k+72$ $k^2-2k-8=0$ 解得 $k=4$ 或 $k=-2$。 因为 $k$ 为正整数（数列的项数），所以 $k=-2$ 舍去，即 $k=4$。 故选 (B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$；等比中项基本性质 $b^2=ac$。
2. 核心方法：基本量代换法。将所有项用首项和公差表示，是解决数列基本量问题的通用策略。
3. 避坑指南：解出一元二次方程后，务必检查根的合理性。由于 $k$ 代表数列的项数，必须满足 $k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为经典的等差、等比数列交汇问题，源自教材中对两种基本数列概念理解的综合巩固练习。
2. 结论推广：若等差数列的首项 $a_1=md$ ($d\ne 0$)，且 $a_k$ 是 $a_1$ 与 $a_{2k}$ 的等比中项，则对应方程为 $(k+m-1{)}^2=m(2k+m-1)$，化简可得 $k^2-2k-(m-1)=0$。本题即为 $m=9$ 时的特例。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-04 单-向量数量积
• 2019-全国卷II理-09 单-三角函数的周