2007-天津卷理-11 填-二项展开式通项公式

本题导读

本题主要考查二项式定理的应用。通过二项展开式的通项公式，确立特定项（$x^3$ 项）所对应的指数方程，从而通过系数等量关系反解出未知参数 $a$，旨在考查基本公式的掌握和准确计算能力。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(理)） 若 ${\left(x^2+\frac{1}{ax}\right)}^6$ 的二项展开式中 $x^3$ 的系数为 $\frac{5}{2}$，则 $a=$ $\underline{}$。（用数字作答）

🔍【思路分析】

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1. 写出二项展开式的通用项 $T_{r+1}$；
2. 整合因式中自变量 $x$ 的指数部分，令其等于 3，解出对应的 $r$ 值；
3. 将 $r$ 值代入系数部分，建立关于 $a$ 的方程并求解。

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✍【详细解析】

Abstract

解： 根据二项式定理，展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_6^r(x^2{)}^{6-r}{\left(\frac{1}{ax}\right)}^r={\mathrm{C}}_6^r\cdot x^{12-2r}\cdot a^{-r}\cdot x^{-r}={\mathrm{C}}_6^r{a}^{-r}{x}^{12-3r}$ 令 $x$ 的指数为 3，得： $12-3r=3⟹3r=9⟹r=3$ 将 $r=3$ 代入通项的系数部分，得 $x^3$ 的系数为： ${\mathrm{C}}_6^3{a}^{-3}=\frac{20}{a^3}$ 已知该系数为 $\frac{5}{2}$，则： $\frac{20}{a^3}=\frac{5}{2}⟹5a^3=40⟹a^3=8$ 解得 $a=2$。 故答案为 2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式的通项公式 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 核心方法：待定指数法。先分离常数系数与自变量 $x$，再由未知项指数反推项数 $r$。
3. 避坑指南：

• 极易混淆“第 $r+1$ 项”与“组合数中的下标 $r$”，在代入计算系数时注意对应关系。
• 分母上的 $a$ 在参与幂次运算时变为 $a^{-r}$，切勿漏掉分母上的常数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为标准的二项式定理常规常规题，源自教材中对通项公式应用的课后巩固题。
2. 结论推广：对于 ${\left(A{x}^{\alpha }+B{x}^{\beta }\right)}^n$ 的展开式，其通项中 $x$ 的指数为 $\alpha (n-r)+\beta r$。通过令其等于目标指数，可对任意特定项（包括常数项，即指数为0）进行快速定位。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-13 填-二项式展开式通项
• 2018-全国卷III理-13 填-向量坐标运算