2007-天津卷理-12 填-球表面积公式

本题导读

本题考查立体几何中空间多面体与球的组合体问题。重点考查长方体外接球的几何特征。长方体的八个顶点共球时，其体对角线长正好等于外接球的直径，考查空间想象能力与公式记忆。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(理)） 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1, 2, 3，则此球的表面积为$\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确长方体与其外接球的几何关系：长方体的体对角线即为外接球的直径 $2R$；
2. 利用一个顶点上的三条棱长，通过空间勾股定理计算出体对角线的长度；
3. 由直径求出 $4R^2$，直接代入球的表面积公式 $S=4\pi R^2$ 计算得出答案。

点击查看答案

$14\pi$

✍【详细解析】

Abstract

解： 设长方体的三条棱长分别为 $a=1,b=2,c=3$，外接球的半径为 $R$。 因为长方体的各顶点均在球面上，所以长方体的体对角线长等于球的直径。 由空间勾股定理，长方体的体对角线长 $d$ 为： $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}$ 因为 $2R=d$，所以： $2R=\sqrt{14}⟹4R^2=14$ 球的表面积公式为： $S=4\pi R^2$ 代入 $4R^2=14$ 得： $S=14\pi$ 故答案为 $14\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：长方体外接球半径模型（$(2R{)}^2=a^2+b^2+c^2$）；球的表面积公式 $S=4\pi R^2$。
2. 核心方法：模型转化法。建立空间立体结构核心特征线（体对角线）与球心对称要素的等量关联。
3. 避坑指南：求得体对角线 $\sqrt{14}$ 后，部分学生习惯性地先求出 $R=\frac{\sqrt{14}}{2}$，再算 $R^2=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}$。由于表面积公式中含 $4R^2$，直接使用 $4R^2=d^2=14$ 整体代入更不易出错且运算更快捷。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考立体几何中的经典小题模型——“墙角模型”或“外接球模型”，直接源自教材中多面体与旋转体切接问题的变形。
2. 结论推广：不仅是长方体，对于任何存在三条两两垂直棱的几何体（如直三棱锥、正方体截角等），均可通过“补形法”将其补全为长方体。其外接球的直径平方恒满足 $(2R{)}^2=a^2+b^2+c^2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷理-15 填-线面平行
• 2015-新课标I卷理-11 单-三视图