2015-新课标I卷理-11 单-三视图

本题导读

本题考查根据三视图还原几何体并计算表面积。核心难点在于识别出圆柱被截后的形状（半圆柱）以及与半球拼接后的重叠面处理，侧重考查空间想象能力和公式应用。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅰ(理)） 圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 $r$）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 $16+20\pi$，则 $r=$ ()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 8

🔍【思路分析】

破题导航

1. 还原几何体：由俯视图是一个矩形加半圆，正视图是一个圆及切向线条，可知该几何体由半个圆柱和半个球组合而成。
   • 圆柱的底面半径为 $r$，高为 $2r$。
   • 截面过圆柱的轴线（将圆柱纵向平分）。
2. 分析表面组成：
   • 半球部分：球面面积的一半。
   • 半圆柱部分：侧面积的一半、两个半圆底面。
   • 暴露的矩形截面：圆柱平分后的长方形截面，长为 $2r$，宽为 $2r$（即底面直径）。注意：球的半圆截面与圆柱的半圆底面重合，不计入表面积。
3. 建立方程：将各部分面积加和，令其等于 $16+20\pi$，解出 $r$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：拆解各部分表面积

该几何体的表面由以下五个部分组成：

1. 半个球面：$S_1=\frac{1}{2}\cdot 4\pi r^2=2\pi r^2$。
2. 半个圆柱侧面：$S_2=\frac{1}{2}\cdot (2\pi r\cdot 2r)=2\pi r^2$。
3. 圆柱的一个半圆底面（未被遮挡的一端）：$S_3=\frac{1}{2}\pi r^2$。
4. 半球的一个半圆截面（暴露在外的半球平分面）：$S_4=\frac{1}{2}\pi r^2$。 注：实际上这两个半圆（$S_3$ 和 $S_4$）加起来刚好是一个完整的圆底面 $\pi r^2$。
5. 圆柱纵截面（矩形）：$S_5=2r\cdot 2r=4r^2$。

第二步：计算总表面积公式

$S_{\text{总}}=S_1+S_2+S_3+S_4+S_5$ $S_{\text{总}}=2\pi r^2+2\pi r^2+\frac{1}{2}\pi r^2+\frac{1}{2}\pi r^2+4r^2$ $S_{\text{总}}=5\pi r^2+4r^2=(5\pi +4)r^2$。

第三步：解方程

已知 $S_{\text{总}}=16+20\pi$： $(5\pi +4)r^2=20\pi +16$ $(5\pi +4)r^2=4(5\pi +4)$ 易知 $r^2=4$。 由于 $r>0$，故 $r=2$。

最终答案为：B 

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 视图还原：正视图呈现圆形通常意味着几何体具有轴对称结构（球或横放的圆柱）。结合俯视图的矩形边缘，可确定是柱体。
2. 表面积陷阱：在拼接几何体时，重合面（如球的截面与圆柱的底面）不能计入表面积。本题中半球与半圆柱的侧接触面是重合的。
3. 公式准确性：球表面积 $4\pi r^2$，圆柱侧面积 $2\pi rh$。在计算中要注意“半个”的系数。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若此组合体要求体积，则 $V=V_{\text{半球}}+V_{\text{半圆柱}}=\frac{2}{3}\pi r^3+\pi r^3=\frac{5}{3}\pi r^3$。
• 方法推广:
  • 投影法验证：三视图中的面积往往与几何体在该方向的投影面积或侧面积之和有关。
• 相关知识点:

  • - **阿基米德旋转体**：研究球与其外切圆柱之间的面积/体积关系。
    

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练(Links)

• 2015-陕西卷理-5
• 2014-辽宁卷理-07 单-几何体的表面积与体积计算
• 2022-高考上海卷-5