2007-天津卷理-17 解-三角函数在闭区间上最值

本题导读

本题主要考查三角恒等变换及正弦型函数的图象与性质。通过应用二倍角公式与辅助角公式将解析式化为 $A\sin (\omega x+\phi )$ 的标准形式，进而求解其最小正周期以及在给定闭区间上的最大值和最小值，着重考查整体代换思想与基本运算求解能力。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(理)） 已知函数 $f(x)=2\cos x(\sin x-\cos x)+1,x\in \mathbf{R}$。

(1) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期；

(2) 求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[\frac{\pi }{8},\frac{3\pi }{4}\right]$ 上的最小值和最大值。

🔍【思路分析】

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1. 对于(1)，展开解析式，利用二倍角的正弦、余弦公式以及辅助角公式将 $f(x)$ 变形为 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 形式，再由公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 求解周期；
2. 对于(2)，由 $x$ 的取值范围求出整体角 $2x-\frac{\pi }{4}$ 的取值范围，结合正弦函数的单调性与图象特征求出该区间内的最大值和最小值。

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函数 $f(x)$ 在区间 $\left[\frac{\pi }{8},\frac{3\pi }{4}\right]$ 上的最大值为 $\sqrt{2}$，最小值为 $-1$

✍【详细解析】

Abstract

解： (1) 展开并化简函数 $f(x)$ 的解析式： $f(x)=2\sin x\cos x-2{\cos }^{2}x+1$ 利用二倍角公式 $2\sin x\cos x=\sin 2x$ 和 $2{\cos }^{2}x-1=\cos 2x$，代入得： $f(x)=\sin 2x-\cos 2x$ 利用辅助角公式逆用两角差的正弦公式化简： $f(x)=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2x\right)=\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$ 因为 $\omega =2$， 所以函数 $f(x)$ 的最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$

(2) 因为 $x\in \left[\frac{\pi }{8},\frac{3\pi }{4}\right]$， 所以 $\frac{\pi }{4}\le 2x\le \frac{3\pi }{2}$。 从而可得整体变量的范围为： $0\le 2x-\frac{\pi }{4}\le \frac{5\pi }{4}$ 令 $\theta =2x-\frac{\pi }{4}$，则 $\theta \in \left[0,\frac{5\pi }{4}\right]$。 根据正弦函数 $y=\sin \theta$ 在该区间上的图象与性质：

• 当 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 时，$\sin \theta$ 取得最大值 $1$，此时 $f(x)$ 的最大值为 $\sqrt{2}\times 1=\sqrt{2}$；
• 当 $\theta =\frac{5\pi }{4}$ 时，$\sin \theta$ 取得最小值 $\sin \left(\frac{5\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，此时 $f(x)$ 的最小值为 $\sqrt{2}\times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-1$。

综上所述，函数 $f(x)$ 在区间 $\left[\frac{\pi }{8},\frac{3\pi }{4}\right]$ 上的最大值为 $\sqrt{2}$，最小值为 $-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角解析式向标准正弦型函数的合一化简，闭区间上三角函数最值的动态范围求解。
2. 核心方法：整体代换法。将 $2x-\frac{\pi }{4}$ 视为一个整体，将其范围平移、缩放后投影到标准三角函数轴上判断单调临界点。
3. 避坑指南：在第(2)问求最小值时，区间右端点 $\frac{5\pi }{4}$ 已经越过了第三象限，其正弦值为 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$，比左端点 0 处的正弦值小，因此最小值在右端点处取得。切忌机械式地只代入端点而不考虑区间内部图象的波峰波谷。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考解答题中第一道常规三角函数大题。取材于教材中“两角和与差的三角公式”以及“三角函数的图象与性质”的综合课后复习题。
2. 结论推广：对于任意形如 $f(x)=a\sin \omega x+b\cos \omega x$ 的复合函数，均可通过辅助角公式化为 $\sqrt{a^2+b^2}\sin (\omega x+\phi )$，其在全域上的值域为 $[-\sqrt{a^2+b^2},\sqrt{a^2+b^2}]$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-17 解-正弦定理
• 2020-全国卷II理-17 解-解三角形