2011-北京卷理-15 解-三角函数

本题导读

本题考查三角函数恒等变换。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(理)） 已知函数 $f(x)=4\cos x\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)-1$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期；

(2) 求 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right]$ 上的最大值和最小值.

🔍【思路分析】

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1. 利用两角和的正弦公式将 $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ 展开，结合倍角公式与降幂公式将 $f(x)$ 化简为 $A\sin (\omega x+\phi )+B$ 的形式。
2. 根据公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 求最小正周期。
3. 由 $x\in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right]$ 确定 $2x+\frac{\pi }{6}$ 的范围，再求出正弦函数在该区间上的最值。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解： 对 $f(x)$ 进行恒等变换： $f(x)=4\cos x\left(\sin x\cos \frac{\pi }{6}+\cos x\sin \frac{\pi }{6}\right)-1$ $f(x)=4\cos x\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x\right)-1$ $f(x)=2\sqrt{3}\sin x\cos x+2{\cos }^{2}x-1$ 利用二倍角公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 与 $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$ 得： $f(x)=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x$ 利用辅助角公式化简为： $f(x)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$

(1) 由 $f(x)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$，知 $\omega =2$。 所以 $f(x)$ 的最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{2}=\pi$

(2) 因为 $x\in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right]$，所以： $-\frac{\pi }{3}⩽2x⩽\frac{\pi }{2}$ $-\frac{\pi }{6}⩽2x+\frac{\pi }{6}⩽\frac{2\pi }{3}$

当 $2x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$，即 $x=\frac{\pi }{6}$ 时，$\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$ 取得最大值 $1$， 此时 $f(x{)}_{\max }=2\times 1=2$；

当 $2x+\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}$，即 $x=-\frac{\pi }{6}$ 时，$\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$ 取得最小值 $-\frac{1}{2}$， 此时 $f(x{)}_{\min }=2\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-1$。

所以 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right]$ 上的最大值为 2，最小值为 -1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：三角恒等变换与正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的性质。
• 核心方法：
• 化简：展开 $\to$ 降幂/二倍角 $\to$ 辅助角公式；
• 闭区间最值：求出整体角 $2x+\phi$ 的范围，结合正弦曲线图像找最值。
• 避坑指南：求闭区间最值时，切勿直接代入端点值计算，需先核实极值点（如 $\frac{\pi }{2}$）是否落入整体角区间内。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自高考三角函数解答题第一问的标准规范型考题。
• 结论推广：函数 $f(x)=a\sin 2x+b\cos 2x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (2x+\phi )$ 的周期恒为 $\pi$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-17 解-三角函数在闭区间上最值
• 1977-上海理-01(4）
• 1996-全国卷理-15