2007-安徽卷文-08 单-对数比大小

本题导读

本题考查对数函数的单调性，以及比较大小。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(文)）设 $a > 1$ ，且 $m = lo g_{a} (a^{2} + 1)$ ， $n = lo g_{a} (a - 1)$ ， $p = lo g_{a} (2 a)$ ，则 $m$ ， $n$ ， $p$ 的大小关系为 ()

A. $n > m > p$ 　　　　　B. $m > p > n$ 　　　　　C. $m > n > p$ 　　　　　D. $p > m > n$

🔍【思路分析】

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$a > 1$ 时 $lo g_{a} x$ 单调递增，比真数即可。

$a^{2} + 1 - 2 a = (a - 1)^{2} > 0$ ，故 $a^{2} + 1 > 2 a$ 。

$2 a - (a - 1) = a + 1 > 0$ ，故 $2 a > a - 1$ 。

得 $m > p > n$ 。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $a > 1$ ， $lo g_{a} x$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，只需比较三个真数的大小． $a^{2} + 1 - 2 a = (a - 1)^{2} > 0$ ，故 $a^{2} + 1 > 2 a$ ； $2 a - (a - 1) = a + 1 > 0$ ，故 $2 a > a - 1$ ．所以 $a^{2} + 1 > 2 a > a - 1$ ，取同底对数得 $m = lo g_{a} (a^{2} + 1) > lo g_{a} (2 a) = p > lo g_{a} (a - 1) = n$ ，即 $m > p > n$ ，故选 B．（易错点： $a - 1 > 0$ 由 $a > 1$ 保证，三个真数均为正，对数有意义；比真数时用差式变形而不是取特殊值。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数比大小

核心方法： $a > 1$ 时同底对数单调递增，比真数

避坑指南：真数作差变形比大小（ $a^{2} + 1 - 2 a = (a - 1)^{2} > 0$ ）；取特殊值 $a = 2$ 检验也要落在定义域内

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数比大小以”同底单调 + 真数差式”为标准动作

结论推广： $lo g_{a} (a^{2} + 1) > 1$ 恒成立（ $a > 1$ ），可与 $1$ 比较定位

方法推广：多参数对数比较升级为”找中间量 1”的策略题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

2008-浙江卷文-12 填-诱导二倍角

2010-上海卷文-17 单-对数方程零点区间

2008-天津卷文-10 单-对数方程值域条件

2007-大纲卷II文-04 单-对数比较大小

∑ ( Math )

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