2007-安徽卷文-18 解-抛物线焦点弦垂直面积

本题导读

本题考查抛物线。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(文)） 设 $F$ 是抛物线 $G:x^2=4y$ 的焦点． （1）过点 $P(0,-4)$ 作抛物线 $G$ 的切线，求切线方程； （2）设 $A$，$B$ 为抛物线 $G$ 上异于原点的两点，且满足 $\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}=0$，延长 $AF$，$BF$ 分别交抛物线 $G$ 于点 $C$，$D$，求四边形 $ABCD$ 面积的最小值．

🔍【思路分析】

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1. （1）设切点 $(2t,t^2)$，$y^{\prime }=\frac{x}{2}$，切线 $y=tx-t^2$；代入 $P$ 得 $t=\pm 2$。
2. （2）$F(0,1)$，设 $A(2u,u^2)$，$B(2v,v^2)$；直线 $AF$ 与抛物线的另一交点 $C$ 参数为 $-\frac{1}{u}$，$|AC|=\frac{(u^2+1{)}^2}{u^2}$。
3. $FA\perp FB$ 等价于参数化单位向量正交：$p_1^2+p_2^2=1$。
4. $S=\frac{1}{2}|AC||BD|=\frac{8}{p_1^2{p}_2^2}⩾\frac{8}{{\left(\frac{p_1^2+p_2^2}{2}\right)}^2}=32$。

✅【答案】

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（1）$y=2x-4$ 或 $y=-2x-4$；（2）四边形 $ABCD$ 面积的最小值为 $32$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设切点为 $X(2t,t^2)$．由 $x^2=4y$ 得 $y^{\prime }=\frac{x}{2}$，所以在 $X$ 处切线的斜率为 $t$，切线方程为 $y-t^2=t(x-2t),\text{即}y=tx-t^2.$ 将 $P(0,-4)$ 代入，得 $-4=-t^2$，所以 $t=\pm 2$． 因而所求切线方程为 $y=2x-4$ 或 $y=-2x-4$． （2）抛物线的焦点为 $F(0,1)$．设 $A(2u,u^2)$，$B(2v,v^2)$，其中 $u\ne 0$，$v\ne 0$． 对于参数为 $s$ 的点 $X(2s,s^2)$，点 $F$，$A$，$X$ 共线的条件为 $u\left(s^2-1\right)-s\left(u^2-1\right)=(s-u)(us+1)=0.$ 除去 $s=u$ 对应的点 $A$，直线 $AF$ 与抛物线的另一交点 $C$ 的参数为 $-\frac{1}{u}$．同理，$D$ 的参数为 $-\frac{1}{v}$． 由于 $|FA|=\sqrt{4u^2+{\left(u^2-1\right)}^2}=u^2+1,|FC|=\sqrt{\frac{4}{u^2}+{\left(\frac{1}{u^2}-1\right)}^2}=\frac{u^2+1}{u^2},$ 且 $A$，$F$，$C$ 依次在同一直线上，所以 $|AC|=\frac{(u^2+1{)}^2}{u^2}.$ 同理 $|BD|=\frac{(v^2+1{)}^2}{v^2}$．由 $\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}=0$，直线 $AC$ 与 $BD$ 垂直，因此四边形 $ABCD$ 的面积为 $S=\frac{1}{2}|AC||BD|.$ 令 $p_1=\frac{2u}{u^2+1},q_1=\frac{u^2-1}{u^2+1},p_2=\frac{2v}{v^2+1},q_2=\frac{v^2-1}{v^2+1}.$ 则 $p_1^2+q_1^2=p_2^2+q_2^2=1$，而已知条件给出 $p_1{p}_2+q_1{q}_2=0$（两个单位向量正交），所以 $p_2^2=q_1^2$，从而 $p_1^2+p_2^2=1$． 又 $|AC|=\frac{4}{p_1^2},|BD|=\frac{4}{p_2^2},$ 故 $S=\frac{8}{p_1^2{p}_2^2}⩾\frac{8}{{\left(\frac{p_1^2+p_2^2}{2}\right)}^2}=32.$ 当 $p_1^2=p_2^2=\frac{1}{2}$ 时等号成立，例如取 $u=\sqrt{2}-1$，$v=\sqrt{2}+1$．所以四边形 $ABCD$ 面积的最小值为 $32$． （方法点睛：抛物线上参数点 $(2t,t^2)$ 的妙处在于——过焦点的弦端参数互为负倒数，$|AC|$ 的表达式也随之参数化；垂直条件经单位向量归一后变成 $p_1^2+p_2^2=1$，均值不等式一步到位。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线焦点弦垂直面积

核心方法：参数点 $(2t,t^2)$ 过焦点弦端参数互为负倒数；垂直条件归一为单位向量正交

避坑指南：$|AC|=\frac{(u^2+1{)}^2}{u^2}$ 的推导先写共线条件；均值不等式取等条件 $p_1^2=p_2^2=\frac{1}{2}$ 要给参数实例

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线焦点弦与垂直条件结合，2007 年安徽文理 18 题同款（文为切线 + 面积）

结论推广：抛物线 $x^2=4y$ 上参数点 $(2t,t^2)$：过焦点的弦端参数积为 $-1$

方法推广：垂直弦的面积最值统一模板：参数化 → 单位向量归一 → 均值不等式

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练(Links)

• 2007-江苏卷-19 解-抛物线切线与中点弦
• 2007-大纲卷I文-22 解-椭圆垂直弦与四边形面积最值
• 2008-安徽卷文-22 解-椭圆焦点弦最值
• 2008-江苏卷-08 填-切线求参数