2007-安徽卷理-09 单-等边三角形直角三角形

本题导读

本题考查双曲线的几何性质与离心率的计算。核心在于通过圆的直角特征以及等边三角形的对称几何性质，将双曲线第一定义中的两条核心焦半径 $|A{F}_1|$ 和 $|A{F}_2|$ 分别用含半焦距 $c$ 的代数式进行量化表达。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(理)） 如图，$F_1$ 和 $F_2$ 分别是双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的两个焦点，$A$ 和 $B$ 是以 $O$ 为圆心，以 $|O{F}_1|$ 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 $△F_{2}AB$ 是等边三角形，则双曲线的离心率为()

A. $\sqrt{3}$　　　　　　B. $\sqrt{5}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{5}}{2}$　　　　　　D. $1+\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 挖掘外接圆的直角特性：

• 因为圆的半径为 $|O{F}_1|=c$，所以 $F_1{F}_2$ 是该圆的一条直径，且 $|O{F}_1|=|O{F}_2|=|OA|=c$。
• 根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，故 $\angle F_{1}A{F}_2=90^{\circ }$。这意味着 $△F_{1}A{F}_2$ 是一个直角三角形。

2. 利用等边三角形的对称性求解角度与线段：

• 已知 $△F_{2}AB$ 为等边三角形，根据抛物线/双曲线的轴对称性， $AB\perp F_1{F}_2$。

• 设 $AB$ 与 $x$ 轴交于点 $M$，则 $M$ 为 $AB$ 中点，且 $\angle A{F}_{2}M=30^{\circ }$。

• 由 $\angle F_{1}A{F}_2=90^{\circ }$ 且 $AM\perp F_1{F}_2$，由射影定理或直角三角形相似可推知各角大小，进而将直角三角形 $△F_{1}A{F}_2$ 中的三边用含 $c$ 的式子表达，通过双曲线第一定义列方程求解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：因为圆是以原点 $O$ 为圆心， 以 $|O{F}_1|=c$ 为半径的圆。 所以， 线段 $F_1{F}_2$ 是该圆的一条标准直径。 根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）， 点 $A$ 在圆周上， 故有： $\angle F_{1}A{F}_2=90^{\circ }$ 即 $△F_{1}A{F}_2$ 为直角三角形， 满足勾股定理： $|A{F}_1{|}^2+|A{F}_2{|}^2=|F_1{F}_2{|}^2=(2c{)}^2=4c^2$。

因为双曲线及圆均关于 $x$ 轴严格对称，且 $△F_{2}AB$ 是等边三角形。 设 $AB$ 与 $x$ 轴的交点为 $M$， 则 $AM\perp F_1{F}_2$， 且 $F_{2}M$ 是 $\angle A{F}_{2}B$ 的角平分线。 所以： $\angle A{F}_{2}M=\frac{1}{2}\times 60^{\circ }=30^{\circ }$

在 Rt$△F_{1}A{F}_2$ 中， 因为 $\angle F_{1}A{F}_2=90^{\circ }$ 且 $\angle A{F}_2{F}_1=30^{\circ }$， 根据直角三角形的三角函数性质， 30° 角所对的直角边等于斜边的一半： $|A{F}_1|=\frac{1}{2}|F_1{F}_2|=\frac{1}{2}\times 2c=c$ 根据勾股定理或三角函数求另一条直角边 $|A{F}_2|$： $|A{F}_2|=|F_1{F}_2|\cdot \cos 30^{\circ }=2c\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}c$

点 $A$ 在双曲线的左支上， 根据双曲线的第一定义， 动点到两焦点的距离之差的绝对值等于实轴长 $2a$： $|A{F}_2|-|A{F}_1|=2a$ 将上面求出的含 $c$ 的线段长度代入定义式中： $\sqrt{3}c-c=2a⟹(\sqrt{3}-1)c=2a$

根据离心率公式 $e=\frac{c}{a}$， 对方程进行变形： $e=\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{3}-1}$ 分母有理化（分子分母同乘以 $\sqrt{3}+1$）： $e=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{2}=\sqrt{3}+1$

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆直径所对圆周角为 90° 的隐性转化、双曲线第一定义的代数化简、离心率基本量通式。
2. 核心方法：几何特征转换为特殊角直角三角形法。
3. 避坑指南：

• 看到图中有圆，第一眼必须捕捉到 $F_1{F}_2$ 是直径从而触发 $\angle F_{1}A{F}_2=90^{\circ }$ 的隐藏直角条件。找不到这个直角关系，后续的三角函数长度放缩将无法展开。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线的定义与几何性质、圆的几何性质是安徽卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是双曲线的定义与几何性质、圆的几何性质的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用几何图形转化法、勾股定理消元法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2008-四川卷文-11 单-双曲线焦点三角形面积
• 2008-大纲卷II文-11 单-双曲线焦点三角形离心率
• 2008-天津卷理-05 单-椭圆