2008-四川卷文-11 单-双曲线焦点三角形面积

本题导读

$a=3$，$c=5$：$|P{F}_1|-|P{F}_2|=6$ 且 $|P{F}_2|=10$ $\Rightarrow$ $|P{F}_1|=16$；三边 $16,10,10$，海伦公式 $S=\sqrt{18\times 2\times 8\times 8}=48$.

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(文)） 已知双曲线 $C:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，$P$ 为 $C$ 的右支上一点，且 $|P{F}_2|=|F_1{F}_2|$，则 $△P{F}_1{F}_2$ 的面积等于()

A. $24$　　　　　　　B. $36$　　　　　　　C. $48$　　　　　　　D. $96$

🔍【思路分析】

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$|F_1{F}_2|=2c=10$；双曲线定义给 $|P{F}_1|=16$；$10^2+10^2<16^2$? 不等——直接海伦公式最稳：$s=18$.

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

双曲线的实半轴、虚半轴分别为 $a=3$，$b=4$，故半焦距 $c=\sqrt{a^2+b^2}=5$，从而 $F_1{F}_2=2c=10$．$P$ 在右支上，满足 $P{F}_1-P{F}_2=2a=6$；结合 $P{F}_2=10$，得 $P{F}_1=16$．于是三角形 $P{F}_1{F}_2$ 的三边为 $16$，$10$，$10$，半周长为 $18$．由海伦公式，面积为 $\sqrt{18\times 2\times 8\times 8}=48$．故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的定义与焦点三角形

核心方法：定义定边长，海伦公式算面积

避坑指南：$P$ 在右支：$|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a=6$，大减小；$|P{F}_2|=|F_1{F}_2|=2c$，别把 $2c=10$ 当成 $c=10$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线焦点三角形，定义 + 海伦公式的标准组合

结论推广：焦点三角形面积 $S=\frac{b^2\tan \frac{\theta }{2}}{2}$（$\theta$ 为顶点在 $P$ 处的角）可验算

方法推广：先写全三边（定义给一边、$2c$ 给一边），再选面积公式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.07 焦点三角形专题

类题演练 (Links)

• 2016-四川卷理-19
• 2016-四川卷文-19
• 2015-四川卷理-05 单-双曲线性质