2007-山东卷文-02 单-集合交集与指数不等式

本题导读

本题考查集合交集，以及指数不等式。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(文)） 已知集合 $M=\{-1,1\}$，$N=\left\{x|\frac{1}{2}<2^{x+1}<4,x\in \mathbb{Z}\right\}$，则 $M\cap N=$ ()

A. $\{-1,1\}$　　　　　　B. $\{-1\}$　　　　　　C. $\{0\}$　　　　　　D. $\{-1,0\}$

🔍【思路分析】

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1. $\frac{1}{2}=2^{-1}$、$4=2^2$，故 $-1<x+1<2$，即 $-2<x<1$。
2. 取整数：$N=\{-1,0\}$。
3. $M\cap N=\{-1,1\}\cap \{-1,0\}=\{-1\}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $\frac{1}{2}<2^{x+1}<4$ 即 $2^{-1}<2^{x+1}<2^2$，得 $-1<x+1<2$，即 $-2<x<1$． 又 $x\in \mathbb{Z}$，故 $N=\{-1,0\}$． 所以 $M\cap N=\{-1,1\}\cap \{-1,0\}=\{-1\}$，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合交集与指数不等式

核心方法：指数不等式化为同底：$2^{-1}<2^{x+1}<2^2$ 得 $-2<x<1$

避坑指南：$x\in \mathbb{Z}$ 先取整再交集；$2^{x+1}$ 的指数是 $x+1$ 不是 $x$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合交集与指数不等式结合，集合小题常规考法

结论推广：指数不等式 $2^{f(x)}<2^a⟺f(x)<a$（单调性去底）

方法推广：整数集元素先解不等式再筛选；交集逐元素核对

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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