2007-山东卷文-06 单-抽象函数运算律识别

本题导读

本题考查抽象函数，以及运算律识别。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(文)） 给出下列三个等式：$f(xy)=f(x)+f(y)$，$f(x+y)=f(x)f(y)$，$f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}$．下列函数中不满足其中任何一个等式的是 ()

A. $f(x)=3^x$　　　B. $f(x)=\sin x$　　　C. $f(x)={\log }_{2}x$　　　D. $f(x)=\tan x$

🔍【思路分析】

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1. $3^{x+y}=3^x\cdot 3^y$：$3^x$ 满足第 2 式。
2. ${\log }_2(xy)={\log }_{2}x+{\log }_{2}y$：${\log }_{2}x$ 满足第 1 式。
3. $\tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}$：$\tan x$ 满足第 3 式。
4. $\sin (x+y)$ 无上述结构：$\sin x$ 三个都不满足。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

（A）$f(x)=3^x$：$f(x+y)=3^{x+y}=3^x\cdot 3^y=f(x)f(y)$，满足第 2 式； （C）$f(x)={\log }_{2}x$：$f(xy)={\log }_2(xy)={\log }_{2}x+{\log }_{2}y=f(x)+f(y)$，满足第 1 式； （D）$f(x)=\tan x$：$\tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}$，满足第 3 式； （B）$f(x)=\sin x$：$\sin (xy)$ 无意义结构、$\sin (x+y)\ne \sin x\sin y$、也不满足正切加法定理形式，三个等式都不满足． 故选 B． （本质：三个等式分别对应”对数、指数、正切”的运算律，正弦没有对应的乘法结构．）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抽象函数运算律识别

核心方法：三个等式分别是指数、对数、正切的运算律；逐一对照排除

避坑指南：$\sin (x+y)$ 展开后不是 $f(x)f(y)$ 型；正弦没有乘法结构

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抽象函数运算律匹配，考查对三类函数乘法结构的认识

结论推广：$f(xy)=f(x)f(y)$ 型对应幂函数（$f(x)=x^k$）

方法推广：抽象函数匹配题按运算类型分类：和变积、积变和、正切加法定理

🔗【关联脉络】

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